[Risolto] criteri di equivalenza disequazioni

PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI

• 1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
  addizionando o sottraendo ad ambo i membri di una disequazione lo stesso polinomio si ottiene una disequazione equivalente a quella data
• 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
  moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per lo stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente a quella data con lo stesso verso
• 3° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
  moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per lo stesso numero negativo e cambiando il verso del simbolo di disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data

 
ESEMPI

$5x+6>2x+7$ è uguale a

$5x+6+3x>2x+7+3x$

(Ho aggiunto $3x$)

________________

$\frac{5x+2}{3}<\frac{7x+1}{3}$ è uguale a

$5x+2<7x+1$

(Ho moltiplicato per $3$)

________________

$-2x+7>-1+3x$ è uguale a

$2x-7<1-3x$

(Ho moltiplicato per $-1$

ATTENZIONE

Il secondo e il terzo principio di equivalenza possono essere applicati solo se conosci il numero per cui dividi o moltiplichi ambo i membri della disequazione.

Ad esempio:

$\frac{5x}{3x}>\frac{7}{3x}\Rightarrow5x>7$

NO!

Quello che scritto sopra è sbagliato perché io non conosco il segno di $x$, non so se sia un numero positivo o negativo e quindi se io debba cambiare o no il verso del simbolo della disequzione.

Questo è il procedimento corretto:

$\frac{5x}{3x}>\frac{7}{3x}$

$\frac{5x}{3x}-\frac{7}{3x}>0$ (Qui ho applicato il 1º principio)

$\frac{5x-7}{3x}>0$ (Ricorda le $C.E.:x≠0$)

Studio del segno

$5x-7>0\Rightarrow{x}>\frac{7}{5}$

$3x>0\Rightarrow{x}>0$

Soluzione

$x<0\vee{x}>\frac{7}{5}$

DISEQUAZIONE
E' un'espressione algebrica composta da due subespressioni prive di operatori relazionali e separate da un'unico operatore relazionale di cui esse sono gli operandi, detti i "membri" della disequazione.
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OPERATORI RELAZIONALI
a) diversità: uno dei simboli {≠, !=, <>, .NE.} ≡ "è diverso da".
b) diseguaglianza d'ordine lasco
b1) minoranza lasca: uno dei simboli {≤, <=, .LE.} ≡ "è minore o eguale a".
b2) maggioranza lasca: uno dei simboli {≥, >=, .GE.} ≡ "è maggiore o eguale a".
c) diseguaglianza d'ordine stretto
c1) minoranza stretta: uno dei simboli {<, .LT.} ≡ "è minore di".
c2) maggioranza stretta: uno dei simboli {>, .GT.} ≡ "è maggiore di".
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POSSIBILI TIPI DI DISEQUAZIONE
L'operatore di diversità, come quello di eguaglianza ("="), può avere operandi complessi; gli operatori d'ordine hanno senso solo fra operandi reali.
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RISOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE
La soluzione della disequazione, come quella dell'equazione, è quel sottinsieme del dominio (piano complesso o asse reale) in cui la disequazione è vera (memo: l'operatore è un'affermazione!).
Le procedure risolutive sono tre, secondo la classe dell'operatore relazionale.
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a) diversità: sostituire "!=" con "="; risolvere l'equazione; la soluzione è il complemento di quella ottenuta.
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b) ordine lasco: risolvere separatamente l'equazione e la disequazione d'ordine stretto; la soluzione è l'unione di quelle ottenute.
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c) ordine stretto: E' SOLO PER QUESTA PROCEDURA CHE SERVE IL CONCETTO DI EQUIVALENZA FRA DISEQUAZIONI perché la risoluzione consiste nel formare una successione di disequazioni equivalenti dalla forma data fino a una forma che consenta di enunciare l'insieme soluzione.
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EQUIVALENZA FRA DISEQUAZIONI
Salvo che nei libri di Algebra per il Ginnasio, NON ESISTONO "i tre criteri di equivalenza delle disequazioni": quelli del Ginnasio riguardano solo l'applicazione membro a membro delle quattro operazioni razionali, ma non tengono alcun conto di operazioni appena appena un po' più complicate (inversione, radice settima, logaritmo, esponenziazione, potenza, ...) che pure possono essere utili nel risolvere dis/equazioni con espressioni che le contengono.
Danno luogo a disequazioni equivalenti quelle operazioni per cui a operando maggiore corrisponde risultato maggiore (addizionare membro a membro qualcosa, che sia "- 22" o "15*e^(k*x)" o "x^2 - y^6"; prendere il logaritmo in base maggiore di uno; moltiplicare per un valore positivo, che sia "1/22" o "15*e^(k*x)" o "x^2 + y^6"; e così via).
Danno luogo a disequazioni complementari (così che per avere quella equivalente si deve rovesciare la diseguaglianza d'ordine) quelle operazioni per cui a operando maggiore corrisponde risultato minore (prendere l'inverso membro a membro; prendere il logaritmo in base minore di uno; moltiplicare per un valore negativo, che sia "- 3/4" o "log(1/2, 23)" o "- (x^2 + y^6)"; e così via).
Non si possono ottenere disequazioni equivalenti applicando membro a membro operazioni che non godano di una di queste due proprietà (monotonicità crescente o decrescente); particolare attenzione si deve porre a non moltiplicare per zero.
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TANTO PREMESSO, TI MOSTRO I RICHIESTI "esempi con la somma e il prodotto di un polinomio"; anzi no, solo un "esempio con la somma di un polinomio" perché l'addizione è monotòna crescente, ma la moltiplicazione non lo è in quanto dipende dal segno del moltiplicatore e "un polinomio" senz'altra specificazione può avere valori di ogni segno.
Il primo passaggio nella risoluzione di una disequazione d'ordine che abbia membri polinomiali è quello di addizionare membro a membro l'opposto di uno dei membri.
* 6*x*(x + 1) > (1/8 - 2*x)^2 - 7*x - (1/2)*(2 - x)*(1 - 4*x) ≡
≡ 6*x*(x + 1) + (- 6*x*(x + 1)) > (1/8 - 2*x)^2 - 7*x - (1/2)*(2 - x)*(1 - 4*x) + (- 6*x*(x + 1)) ≡
≡ 0 > (1/8 - 2*x)^2 - 7*x - (1/2)*(2 - x)*(1 - 4*x) - 6*x*(x + 1) ≡
≡ (1/8 - 2*x)^2 - 7*x - (1/2)*(2 - x)*(1 - 4*x) - 6*x*(x + 1) < 0 ≡
≡ 4*x^2 - x/2 + 1/64 - 7*x - 2*x^2 + 9*x/2 - 1 - 6*x^2 - 6*x < 0 ≡
≡ 4*x^2 - 2*x^2 - 6*x^2 - x/2 - 7*x + 9*x/2 - 6*x + 1/64 - 1 < 0 ≡
≡ - 4*x^2 - 9*x - 63/64 < 0 ≡
≡ (- 4*x^2 - 9*x - 63/64)/(- 4) > 0/(- 4) ≡
≡ x^2 + (9/4)*x + 63/256 > 0 ≡
≡ (x - (3/16)*(- 6 - √29))*(x - (3/16)*(- 6 + √29)) > 0 ≡
≡ (x < (3/16)*(- 6 - √29)) & (x < (3/16)*(- 6 + √29)) oppure (x > (3/16)*(- 6 - √29)) & (x > (3/16)*(- 6 + √29)) ≡
≡ (x < (3/16)*(- 6 - √29)) oppure (x > (3/16)*(- 6 + √29))