Costruire modelli, calcolo differenziale

$\theta(x)= \arctan(\frac{a+b}{x})$

$\beta(x)= \arctan(\frac{b}{x})$

$L=\lim_{x \to \infty} \frac{\theta(x)}{\beta(x)} =\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \arctan(\frac{a+b}{x})}{\arctan(\frac{b}{x})}$

Possiamo applicare De L'Hôpital ricordando che $\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$:

$L=\lim_{x \to + \infty} \dfrac{a+b}{x^2(1+(\frac{a+b}{x})^2)} \cdot \dfrac{(1+\frac{b^2}{x^2})x^2}{b}= \lim_{x \to \infty} \dfrac{a+b}{1+(\frac{a+b}{x})^2} \cdot \dfrac{1+\frac{b^2}{x^2}}{b} = \dfrac{a+b}{1+0} \cdot \dfrac{1+0}{b} = \dfrac{a+b}{b}$ usando la regola della catena e la regola della potenza.

Calcoliamo il secondo limite:

Poniamo $u= \frac{a+b}{x}$ e $v=\frac{b}{x}$, $x \to 0^+ \implies u \to + \infty$, $x \to 0^+ \implies v \to + \infty$.

Allora se calcoliamo

$L_1= \lim_{x \to 0^+} \frac{\theta(x)}{\beta(x)} =\lim_{x \to 0^+} \dfrac{ \arctan(\frac{a+b}{x})}{\arctan(\frac{b}{x})} = \frac{\lim_{u \to + \infty} \arctan(u)}{\lim_{v \to + \infty} \arctan(v)}$ otteniamo facilmente che $\lim_{v \to + \infty} \arctan(v) =\lim_{u \to + \infty} \arctan(u) = \frac{\pi}{2}$ per l'asintoto orizzontale noto di $\arctan(x)$, quindi $L_1=\dfrac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=1$.