Correzione esercizio equazioni delle parabole

Question

Scrivi l'equazioni delle parabole y=a x^2+b x+c, tangenti alle rette $2 x+2 y+1=0$ e $2 x-y-8=0$ e passanti per il punto O(0 ; 0)$, e determina la misura della corda intercettata sulla retta di equazione $2 x-y-6=0$ dalla parabola avente il vertice di ascissa maggiore.  SVOLGIMENTO È giusto così?: In questo caso, abbiamo due rette tangenti e un punto noto, quindi possiamo prima calcolare le equazioni delle rette tangenti e poi trovare le equazioni delle parabole che soddisfano questi requisiti. Troviamo le equazioni delle rette tangenti: La retta 2x + 2y + 1 = 0 può essere scritta nella forma y = -x - 1/2 La retta 2x - y - 8 = 0 può essere scritta nella forma y = 2x - 8 Troviamo le equazioni delle parabole: Scegliamo un punto qualsiasi sulla prima retta e usiamo la formula per trovare l'equazione della parabola che passa per questo punto e ha la stessa direzione della tangente. Ad esempio, se scegliamo il punto (1, -3/2), avremo: y = a(x - 1)^2 - 3/2 Scegliamo un punto qualsiasi sulla seconda retta e usiamo la formula per trovare l'equazione della parabola che passa per questo punto e ha la stessa direzione della tangente. Ad esempio, se scegliamo il punto (1, 2), avremo: y = a(x - 1)^2 + 2 Troviamo l'equazione delle parabole che passano per il punto (0, 0): Sostituiamo x = 0 nella prima equazione della parabola e otteniamo y = -3/2a Sostituiamo x = 0 nella seconda equazione della parabola e otteniamo y = 2a Troviamo la misura della corda intercettata: Usiamo le equazioni delle parabole che passano per (0, 0) per trovare le ascisse dei vertici delle parabole. Le ascisse dei vertici sono date da -b/2a, dove b è il coefficiente del termine lineare delle equazioni. La parabola con ascissa maggiore intercetta la retta y = 2 - x - 6 = 0 nei punti di intersezione, che possono essere risolti con la risoluzione del sistema di equazioni. La distanza tra questi punti è la misura della corda intercettata. Le equazioni delle parabole tangenti alle rette 2x + 2y + 1 = 0 e 2x - y - 8 = 0 e passanti per il punto (0, 0) sono: y = 1/2x^2 - 2x e y = 9/50x^2 - 2/5x La corda intercettata è lunga 4√5.

exProf · Accepted Answer

SI' E' GIUSTO COSI', ma incompleto: avresti dovuto esibire esplicitamente le definitive equazioni delle parabole.
Il voto positivo che ti ho clickato è di gratitudine per aver esposto con semplicità i tuoi ragionamenti. Se ti va di confrontare qui di seguito c'è come l'avrei esposto io.
------------------------------
L'equazione della generica parabola Γ per l'origine, con asse parallelo all'asse y, è
* Γ ≡ y = a*x^2 + b*x ≡
≡ y = a*(x + b/a)*x ≡
≡ y = a*(x + b/(2*a))^2 - b^2/(4*a)
nelle tre forme che evidenziano
* l'apertura a != 0
* gli zeri (x = - b/a) oppure (x = 0)
* il vertice V(- b/(2*a), - b^2/(4*a))
------------------------------
Il complesso delle due tangenti che hanno pendenze diverse costituisce un'iperbole degenere sui suoi asintoti
* H ≡ (2*x + 2*y + 1)*(2*x - y - 8) = 0
---------------
Si ottiene la richiesta tangenza se e solo se il sistema H & Γ ha come soluzione due punti doppi; cioè se nella risolvente del sistema
* (2*x + 2*(a*(x + b/a)*x) + 1)*(2*x - (a*(x + b/a)*x) - 8) = 0 ≡
≡ (x = (2 - b ± √((b - 2)^2 - 32*a))/(2*a)) oppure (x = (- 1 - b ± √((b + 1)^2 - 2*a))/(2*a))
i due radicandi si annullano.
---------------
* ((b - 2)^2 - 32*a = 0) & ((b + 1)^2 - 2*a = 0) ≡
≡ (a = 9/50) & (b = - 2/5) oppure (a = 1/2) & (b = - 2)
da cui
* Γ1 ≡ y = (9/50)*(x + (- 2/5)/(2*9/50))^2 - (- 2/5)^2/(4*9/50) ≡
≡ y = (9/50)*(x - 10/9)^2 - 2/9, con V1(10/9, - 2/9)
oppure
* Γ2 ≡ y = (1/2)*(x + (- 2)/(2*1/2))^2 - (- 2)^2/(4*1/2) ≡
≡ y = (1/2)*(x - 2)^2 - 2, con V2(2, - 2)
---------------
Il vertice più a destra è quello di Γ2 che, a sistema con la retta data,
* (2*x - y - 6 = 0) & (y = (1/2)*(x - 2)^2 - 2) ≡
≡ A = V2(2, - 2) oppure B(6, 6)
identifica una corda di lunghezza
* c = |AB| = 4*√5

exProf

(@exprof)

51886 punti

livello:

Genius I

12639 Risposte
34 6548 1672

27/04/2023 23:44

[Risolto] Correzione esercizio equazioni delle parabole

Domande