Determina le coordinate dei punti nei quali le rette tangenti ai grafici delle funzioni hanno il coefficiente angolare indicato. Spiegare i passaggi e i ragionamenti.
Determina le coordinate dei punti nei quali le rette tangenti ai grafici delle funzioni hanno il coefficiente angolare indicato. Spiegare i passaggi e i ragionamenti.
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punti
Livello 2
Ci chiediamo per quali punti la derivata prima della funzione vale 2, cioè m=2.
$ y(x) = \sqrt{1-x^2} $
$ y'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
Determiniamo per quali punti y'(x) = 2 risolvendo l'equazione
$ -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 2 $
$ -x = 2 \sqrt{1-x^2} $ quadrando ambo i membri.
nota. Il membro a destra è positivo quindi la soluzione x valida sarà quella negativa. Quadrando si possono introdurre soluzioni che non soddisfano l'equazione prima della quadratura.
$ x^2 = 4(1-x^2) $
$ x^2 = \frac{4}{5} \; ⇒ \; x = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$
La soluzione valida è per $x = - \frac{2\sqrt{5}}{5}$
per tale x avremo $y(- \frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Il punto P ha coordinate $P(- \frac{2\sqrt{5}}{5}, \,\frac{\sqrt{5}}{5})$
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punti
Livello 6