Convergenza uniforme e puntuale.

Teoria: Un insieme $X$ in uno spazio metrico $(S, d)$ è chiuso se per ogni successione $(x_n)$ di elementi in $X$ che converge a un elemento $x \in S$, allora anche $x$ appartiene a $X$. Nello spazio $C([a,b])$ delle funzioni continue su $[a,b]$, la metrica $d_{\infty}$ è definita come $d_{\infty}(f,g) = \sup_{t \in [a,b]} |f(t)-g(t)|$. La convergenza rispetto a $d_{\infty}$ è la convergenza uniforme.

Problema:

 Sia $X = \{f \in C([-1,1]): \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0\}$. $(X, d_{\infty})$ è chiuso? 

Soluzione:

La condizione $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$ implica che $f(0)=0$, dato che $f$ è continua, e, se $f$ è derivabile in $0$, allora $f'(0)=0$.
Per dimostrare che $X$ non è chiuso, è necessario determinare una successione $(f_n)$ di funzioni in $X$ che converge uniformemente a una funzione $f$, ma $f \notin X$.
Considerando la successione di funzioni $f_n(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1/n^2}$ per $x \in [-1,1]$ e $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$, si ha che ogni $f_n(x)$ è continua su $[-1,1]$ visto che il denominatore $x^2 + 1/n^2$ è sempre positivo.

Se $f_n \in X$:
$f_n(0) = \frac{0^3}{0^2 + 1/n^2} = 0$.
Ossia:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f_n(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3/(x^2+1/n^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+1/n^2} = \frac{0}{0+1/n^2} = 0 $$
Quindi $f_n \in X$ per ogni $n \ge 1$.

Si studia il limite uniforme di $f_n(x)$. Per $x \neq 0$, $f_n(x) = \frac{x^3}{x^2+1/n^2} \to \frac{x^3}{x^2} = x$ quando $n \to \infty$. Per $x=0$, $f_n(0)=0 \to 0$. Quindi la funzione limite puntuale è $f(x)=x$.

Si verifica la convergenza uniforme a $f(x)=x$:
$$ |f_n(x) - x| = \left| \frac{x^3}{x^2+1/n^2} - x \right| = \left| \frac{x^3 - x(x^2+1/n^2)}{x^2+1/n^2} \right| = \left| \frac{-x/n^2}{x^2+1/n^2} \right| = \frac{|x|}{n^2x^2+1} $$
Per trovare l'estremo superiore su $[-1,1]$, si considera $g(y) = \frac{y}{n^2y^2+1}$ per $y \in [0,1]$. La derivata $g'(y) = \frac{1-n^2y^2}{(n^2y^2+1)^2}$ si annulla per $y=1/n$.
Il valore massimo è $g(1/n) = \frac{1/n}{n^2(1/n^2)+1} = \frac{1/n}{1+1} = \frac{1}{2n}$, assumendo $1/n \le 1$.
Quindi, $d_{\infty}(f_n, f) = \sup_{x \in [-1,1]} \frac{|x|}{n^2x^2+1} = \frac{1}{2n}$.
Poiché $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0$, la successione $f_n$ converge uniformemente a $f(x)=x$.
Se la funzione limite $f(x)=x$ appartiene a $X$:
$f(0) = 0$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1 $$
Poiché $1 \neq 0$, la funzione $f(x)=x$ non appartiene a $X$.
Dato che esiste una successione $(f_n)$ in $X$ che converge uniformemente a $f$, ma $f \notin X$, l'insieme $X$ non è chiuso.