Assegnate le funzioni $f_k(x)=\frac{(x-k)^3}{k^6}$ con $k≥1$, dire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando le risposte.
(a) $(f_k)$ è puntualmente convergente in $[7,+\infty)$;
(b) $(f_k)$ non è uniformemente convergente in $[7,+\infty)$ ;
(c) $(f_k)$ non è uniformemente convergente in $[3,12]$;
(d) La successione delle derivate prime $(f'_k)$ converge uniformemente in $[3,+\infty)$
6218
punti
Livello 6
Soluzione: (incerta)
(a) VERO: basta studiare il limite per $k \to \infty$, $\lim_{k \to \infty} \frac{(x-k)^3}{k^6} \approx \lim_{k \to \infty} \frac{(-k)^3}{k^6} = 0^-$. Poichè il valore di $x$ non influenza il valore limite, in questo caso, la successione converge puntualmente a $f_{\infty} \equiv 0$.
(b) VERO: la convergenza uniforme è presente se $||f_k-f_\infty||_\infty \to 0$.
$||f_k-f_\infty||_\infty= \lim_{k \to \infty}\sup_{x \in [7,+\infty)}|\frac{(x-k)^3}{k^6} -0| \to \infty$
(c) FALSO:la convergenza uniforme è presente se $||f_k-f_\infty||_\infty \to 0$.
$\sup_{x\in[3,12]}\Bigl|\frac{(x-k)^3}{k^6}\Bigr|
=\frac{\max\{|3-k|^3,|12-k|^3\}}{k^6}
=O\Bigl(\frac1{k^3}\Bigr)\to0.$
(d) FALSO: Le derivate sono: $f'_k(x)=\frac{3(x-k)^2}{k^6}$. Su $[3,+\infty)$ si ha $\sup_{x\ge3}|f'_k(x)|=+\infty$, quindi non si ha convergenza uniforme.
Concordo con la tua risposta 🙂
10479
punti
Livello 6
