Ho utilizzato il criterio del rapporto e quello della radice ma mi danno come risultato 1 e quindi nessuna informazione, consigli su come procedere?
Ho utilizzato il criterio del rapporto e quello della radice ma mi danno come risultato 1 e quindi nessuna informazione, consigli su come procedere?
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Livello 1
Problema:
Si studi il carattere della seguente serie numerica:
$\sum_{n=1}^\infty (\frac{n+4}{n+2})^{n^2}(1-\cos \frac{1}{n²})e^{-2n}$
Soluzione:
Prima di procedere con lo studio del carattere conviene confrontare la serie con una più maneggevole.
$\sum_{n=1}^\infty (\frac{n+4}{n+2})^{n^2}(1-\cos \frac{1}{n²})e^{-2n} \approx \sum_{n=1}^\infty (1-\cos \frac{1}{n²})e^{-2n}$
A questo punto, dato che il valore $(1-\cos \frac{1}{n²}) \in [0,2]$ e $e^{-2n}$ è monotona decrescente convergente a zero, è possibile applicare il criterio di Leibniz ed affermare che la serie $\sum_{n=1}^\infty (\frac{n+4}{n+2})^{n^2}(1-\cos \frac{1}{n²})e^{-2n}$ converge (a circa 0.106987 secondo Wolfram).
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Livello 6