[Risolto] Contrazioni

Le derivate sono tutte derivate seconde, purtroppo non me le fa indicare con ''.

Soluzione(Insicura):

Nota: le derivate del testo sono in realtà tutte derivate seconde.

(A) (i) Si mostra che $E$ è chiuso per successioni, ossia, data $p_k(x)=a_k+b_k \cos (6πx)$ convergente con metrica $d_\infty$ ad una certa funzione $f$, è necessario mostrare che $\exists a,b \in \mathbb{R}: f(x)=a+b\cos (6πx) \in E$. Dato che dalla convergenza uniforme segue la convergenza puntuale, è sufficiente dimostrare che $f(x)=a+b\cos(6πx) \ \forall a,b \in \mathbb{R}$ : 

$||p_k(x) -a-b \cos (6πx)||_\infty = \max_{x \in [0,1]} \{ a_k+b_k \cos (6πx) -a-b\cos (6πx)| \} \leq |b_k-b| \max_{x \in [0,1]} \{ \cos(6πx) \} + |a_k-a|= |b_k-b|+|a_k-a| \to 0$ ciò converge a zero per quanto detto prima sulla convergenza alla certa funzione.

Per l'unicità del limite si ha dunque $f(x)=a+b\cos(6πx)$, ciò implica dunque che E è un insieme chiuso.

(ii) Dato che E è chiuso e che $(E, d_\infty) \subset (C([0,1]), d_\infty)$, il quale è completo, si ha che anche esso è completo.

(B) (i) $||p||_\infty=max_{x \in [0,1]} |a+b\cos(6πx)|$  dato che il coseno ha valori  tra 1 e -1 si ha: $||p||_\infty=\max ( |a+b|, |a-b|)$

(ii) Per le nozioni sugli spazi di Banach si ha che la norma infinito è una norma anche su E dato che lo è su $C([0,1])$.

(C) (Nota: la notazione della derivata prima qui è la derivata seconda in realtà) Prima di inziare a risolvere il quesito è necessario calcolare $p''(x)=-36π²b\cos(6πx)$. Quindi si ha $Tp(x)=-36π²b\lambda\cos(6πx)+4+7\cos(6πx)=\cos(6πx)(7-36π²b\lambda)+4$. Per definizione di contrazione si ha che $||Tp-Tq||_\infty \leq C||p-q||_\infty$, ove $C<1$. Facendo i conti:

$||Tp-Tq||_\infty=|(-36π²\lambda(b_p-b_q)+7)\cos(6πx)|≤|(-36\lambda π²)(b_p-b_q)|+7$

Dato che T è una contrazione è necessario porre $|-36\lambda π²|<1 \implies |\lambda|< \frac{1}{36π²}$.

(D) Per individuare i punti fissi è necessario utilizzare la definizione $Tp=p$. Si ha dunque $\cos(6πx)(7-36π²b\lambda)+4=a+b\cos(6πx)$. Da qui è possibile ricavare il sistema $\{a=4, b=\frac{7}{1-36π²\lambda}) \}$. Si ha dunque: $p(x)=4+\frac{7}{1-36π²\lambda}\cos(6πx)$.

(E) (Nota: la notazione della derivata prima qui è la derivata seconda in realtà) Svolgendo i conti si ha $|p(\frac{1}{12})|=|a|$ e $|p''(0)=36π²|b|$. Si ha dunque $||\cdot||_E=|a|+36π²|b|$. Si mostra che $C_1||\cdot||_\infty \leq ||\cdot||_E \leq C_2 ||\cdot||_\infty$.

@enrico_bufacchi Grazie mille per i preziosi consigli, purtroppo devo ancora prenderci la mano con il rigore nelle dimostrazioni... 🙂

@eidosm grazie mille comunque, purtroppo online non sono riuscita a trovare esercizi simili svolti e in aula non ne abbiamo fatto mezzo T.T

Per ora sono riuscita a risolvere in autonomia solo i primi due punti tramite la chiusura per successioni.