Continuità, punti singolari.

Le funzioni che definiscono i tre tratti sono tutte funzioni continue. 

Occorre verificare la continuità nei punti di raccordo.

• Punti di discontinuità.

• • • x = 0
      • $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0 $
      • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} arctan(\frac{1}{x})-\frac{\pi}{2} = 0 $
      • La funzione presenta in x = 0  una discontinuità eliminabile

•  
  •  
    • x = 1 
      • $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} arctan(\frac{1}{x})-\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} $
      • $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} arctan(\frac{1}{x})= \frac{\pi}{4} $
      • si tratta di una discontinuità di 1° tipo con salto  $δ = \frac{\pi}{2}$ 

IF(x < 0, e^(1/x), IF(0 < x < 1, ATAN(1/x) - pi/2, ATAN(x)))

La funzione definita a tratti è per ognuno di essi continua nel suo tratto di competenza.

La prima componente in particolare possiede un asintoto orizzontale sinistro:

LIM(e^(1/x)) = 1-----> y=1

x---> -∞

si ha inoltre nei punti di raccordo:

LIM(e^(1/x))= 0

x---> 0-

LIM(ATAN(1/x) - pi/2) = 0

x---> 0+

Quindi x=0 è di discontinuità di 3^specie

LIM(ATAN(1/x) - pi/2) = - pi/4

x---> 1-

LIM(ATAN(x)) = pi/4

x---> 1+

pertanto x=1 è di discontinuità di 1^ specie (salto finito)

La funzione presenta un asintoto orizzontale destro:

LIM(ATAN(x)) = pi/2

x---> +∞