Continuità

I due tratti sono funzioni continue in virtù dei teoremi algebrici di continuità. Rimane da verificare il punto di raccordo x = 0

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{sin(kx)}{x} = k $
• f(0) = 2k+2

Uguagliando i due termini si ottiene k = -2

Per tale valore di k la funzione f(x) è definita in tutto ℝ, nessun punto di discontinuità.

• Asintoti

Vista l'assenza di asintoti verticali poniamo l'attenzione sugli orizzontali / obliqui.

Per x ≥ 0 la funziona diverge con un ordine di infinito pari a 2 (parabola). Questo significa nessun asintoto obliquo tantomeno orizzontale.

Per x < 0 si ha un asintoto orizzontale di equazione y = 0. Infatti

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac {sin(-2x)}{x} = 0$

Abbiamo usato il teorema di confronto a tre, ovvero dei due carabinieri applicato alle disequazioni

$ -\frac{1}{x} \le \frac {sin(-2x)}{x} \le \frac{1}{x} $

dove le due funzioni esterne convergono a 0 per x → -∞

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/mqcnufagc6