Continuità

$ y = \frac{x^2}{x^2-4x-5} = \frac{x^2}{(x-5)(x+1)}$

• Dominio = ℝ\{-1, 5}

• • due punti di discontinuità x = -1; e x = 5

• Simmetria. La funzione y(x) non è ne pari ne dispari. Osserva punti di discontinuità.

• Segno

Calcoliamo i punti di zero.

y(x) = 0 per x = 0

Griglia dei segni

_____-1_______0_______5 ____

++++++++++0+++++++++++   x²

--------X++++++++++++++++   x+1  

------------------------------X++++   x-5

++++X---------0----------X+++++   y(x)

1. y(x) < 0    in(-1, 0) e in (0, 5 )    
2. y(x) = 0    per x = 0
3. y(x) > 0   in (-∞, -1) e in (4, +∞)

• Asintoti 
  • Verticali 
    • per x = -1
      • $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty $
      • $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} y(x) = -\infty $

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = -1

• • • per x = 5
      • $\displaystyle\lim_{x \to 5^-} y(x) = -\infty $
      • $\displaystyle\lim_{x \to 5^+} y(x) = +\infty $

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 5

• • Orizzontali
    • • $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = 1 $

Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = 1

• Punti di discontinuità
  • Il punto x = -1 è una discontinuità di seconda specie
  • Il punto x = 1 è una discontinuità di seconda specie

• Grafico