In figura è rappresentato il grafico di una funzione razionale fratta $y=f(x)$. Le due semirette tratteggiate e l'asse $y$ costituiscono i suoi asintoti.
a. Determina il dominio e il valore dei limiti agli estremi del dominio per le seguenti funzioni:
i. $y=f(x)$
ii. $y=g(x)=e^{f(x)}$
iii. $y=h(x)=\ln f(x)$
Puoi dedurre l'esistenza di asintoti per i grafici delle funzioni $g(x)$ e $h(x)$ ? Supponi che l'espressione analitica della funzione $f(x)$ sia del tipo:
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{a x+1}{b x+c} & x<0 \\ \frac{d x^2+e}{x} & x>0\end{cases}
$$
b. Determina, in base alle informazioni che puoi dedurre dal grafico, i valori dei parametri $a, b, c, d$ ed $e$.
c. Giustifica attraverso il calcolo, in base ai valori ottenuti al punto b., i valori dei limiti che hai ricavato al punto a.
d. Per le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ studia anche eventuali simmetrie, intersezioni con gli assi cartesiani, segno e traccia un grafico probabile.
