Considera la circonferenza di raggio 4a e centro O, siano $A B$ una corda e $P$ il punto di intersezione delle tangenti alla circonferenza in $A$ e $B$. Determina la lunghezza della corda $A B$, sapendo che l'altezza relativa ad $A B$ del triangolo $A B O$ è un quinto del segmento $O P$.
$$
\left[\frac{16}{5} \sqrt{5} a\right]
$$
10
punti
Livello 0
Posto a=1, indichiamo con:
x= lunghezza OP
H= Intersezione corda AB e segmento OP
Quindi:
OH= (1/5)*x
HP= (4/5)*x
Per le proprietà geometriche della circonferenza (il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto di tangenza) il triangolo OPB è rettangolo in B. Applicando il primo teorema di Euclide
4² = x*(1/5)*x
x=4*radice (5)
OH= (4/5)*radice (5)
Il triangolo OAB è isoscele sulla base AB. OB = raggio della circonferenza = 4
AB = 2 *radice (OB² - OH²) = (16/5)*radice (5)
75840
punti
Genius II
