Coniche con sistemi parametrici

@fabio

Buon sabato sera a te e a tutti!

Bisogna cercare le intersezioni di un fascio di rette con la circonferenza nel rispetto della condizione y ≥ - √3·x. Cioè bisogna cercare in questa regione del piano cartesiano le intersezioni possibili con la generica retta del piano con la circonferenza.

Portiamo quindi l'equazione implicita:

2·y - 2·(k + 1)·x - 1 = 0

alla forma esplicita:      y = x·(k + 1) + 1/2 si riconosce m= k+1 e q=1/2.

Questo vuol dire che le rette del fascio ruotano attorno al punto Q(0,1/2).

Ad esempio la retta con k=0.5 non va bene perché non fornisce alcuna intersezione con la circonferenza.

Per il momento mi fermo qui, perché devo uscire. Allego una foto della situazione fino a qui ottenuta. Ciao

Continuo la risposta data in precedenza.

Determino la tangenza in A non ancora visibile nella foto in alto, ma visibile nella foto sotto.

Riprendendo il sistema ottengo:

x^2 + (x·(k + 1) + 1/2)^2 - 2·x = 0

semplifico: x^2·(k^2 + 2·k + 2) + x·(k - 1) + 1/4 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

(k - 1)^2 - (k^2 + 2·k + 2) = 0

ottengo: - 4·k - 1 = 0 ------> k = - 1/4

a cui corrisponde la retta del fascio:

y = x·(- 1/4 + 1) + 1/2 ----------> y = 3·x/4 + 1/2

Da cui è facile risalire alle coordinate di A (lascio a te il compito) A(2/5,4/5). A partire da questo punto sono possibili le intersezioni (cioè quanto dice di trovare il problema)

Determino le coordinate di due punti:

{y = - √3·x

{x^2 + y^2 - 2·x = 0

ottengo:

x = 0 ∧ y = 0---->  O(0,0)

x = 1/2 ∧ y = - √3/2---> B(1/2,- √3/2)

In particolare le coordinate di B corrispondono ad un k pari:

2·(- √3/2) - 2·(k + 1)·(1/2) - 1 = 0 ----> k = - √3 - 2

Sulla base dei risultati ottenuti, è possibile verificare la soluzione data dal testo.

Per poter applicare il metodo grafico si devono preliminarmente graficare le tre dis/equazioni del sistema
* (x^2 + y^2 - 2*x = 0) & (2*y - 2*(k + 1)*x - 1 = 0) & (y >= - (√3)*x)
e poi, per quanto possibile, intersecarne i grafici.
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* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x = 0 ≡ x^2 - 2*x + y^2 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + y^2 = 0 ≡ (x - 1)^2 + y^2 = 1^2
rappresenta la circonferenza di centro C(1, 0) e raggio r = 1
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* r(k) ≡ 2*y - 2*(k + 1)*x - 1 = 0 ≡ y = (k + 1)*x + 1/2
rappresenta:
* per k = - 1, la retta y = 1/2 di pendenza zero;
* per k = + 1, la retta y = 2*x + 1/2 di pendenza due (è solo un esempio);
* per k != - 1, ogni retta (escluso l'asse y) per il sostegno S(0, 1/2) di pendenza m(k) = k + 1.
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* y >= - (√3)*x
rappresenta il semipiano superiore, frontiera inclusa, alla retta frontiera.
Tale retta interseca le rette per S che non le sono parallele [k != - (1 + √3)] in
* F(- 1/(2*(k + √3 + 1)), √3/(2*(k + √3 + 1)))
e interseca Γ nell'origine O(0, 0) e in P(1/2, - √3/2).
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Le rette significative per costruire l'intersezione dei grafici sono le seguenti.
* x = 0, congiungente SO
* y = - (√3)*x, congiungente SP
* la tangente superiore a Γ condotta da S, individuata azzerando il discriminante della risolvente del
sistema dei punti comuni
* (y = (k + 1)*x + 1/2) & ((x - 1)^2 + y^2 = 1)
risolvente
* (x - 1)^2 + ((k + 1)*x + 1/2)^2 - 1 = 0
discriminante
* Δ(k) = - 4*k - 1
che s'azzera per k = - 1/4 dando luogo alla tangente
* t ≡ y = (3/4)*x + 1/2
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Quindi si ha
1) per k < - (1 + √3), un'intersezione semplice.
2) per - (1 + √3) <= k < - 1/4, due intersezioni distinte.
3) per k = - 1/4, un'intersezione doppia.
3) per k < - 1/4, nessuna intersezione.
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2C%28x-1%29%5E2%2By%5E2%3D1%2Cy%3D-%28%E2%88%9A3%29*x%2Cy%3D%283%2F4%29*x%2B1%2F2%5D