L'ordinamento corretto fra i numeri $2^{500}, 5^{300}$ e $10^{100}$ è il seguente:
(A) $5^{300}<10^{100}<2^{500}$
(B) $10^{100}<2^{500}<5^{300}$
(C) $10^{100}<5^{300}<2^{500}$
(D) $2^{500}<5^{300}<10^{100}$
(E) $5^{300}<2^{500}<10^{100}$
Salve a tutti mi serve una mano per l'esercizio 1792 non ho capito che motodo risolutivo bisogna utilizzare.
vi ringrazio in anticipo
197
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Livello 1
è la B.
Infatti, possiamo prendere in considerazione ad esempio i logaritmi neperiani. Abbiamo:
10^100 < 2^500 < 5^300
se è vera tale espressione, ciò vale anche per i loro logaritmi:
LN(10^100) < LN(2^500) < LN(5^300)
100·LN(10) < 500·LN(2) < 300·LN(5)
230.2585092 < 346.5735902 < 482.8313737 Ok!!!
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Genius III
log 2^500 = 500 log 2 ~ 150
log 5^300 = 300 log 5 ~ 210
log 10^100 = 100 log 10 = 100
allora l'ordine corretto é B
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Livello 7
Problema:
L'ordinamento corretto tra i numeri $2^{500}, 5^{300}$ e $10^{100}$ è il seguente:
A. $5^{100}<10^{100}< 2^{500}$
B. $10^{100}<2^{500}<5^{300}$
C. $10^{100}<5^{300}<2^{500}$
D. $2^{500}<5^{300}<10^{100}$
E. $5^{300}<2^{500}<10^{100}$
Soluzione:
Per risolvere il quesito posto converrebbe portare tutto a basi simili, o medesime se possibile, tramite le proprietà delle potenze.
$((m)^a)^b=m^{a \times b}$
Esempio: $(2^2)^3=2^{2 \times 3}$
$(mn)^a=m^a n^a$
Esempio: $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2$
$(m)^{a+b}=m^am^b$
Esempio: $2^{3+4}=2^3 \times 2^4$
Per approfondire: https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/lezioni-di-algebra-e-aritmetica-per-scuole-medie/89-proprieta-delle-potenze.html
A prima vista si può scrivere:
$5^{300}=5^{300}=(5^{3})^{100}=5^{100} \times 5^{100} \times 5^{100}$
$10^{100}=5^{100} \times 2^{100}$
$2^{500}=2^{500}=(2^{100})^5$
Si può subito notare che $5^{100} \times 5^{100} \times 5^{100}>5^{100} \times 2^{100} \implies 5^{300}>10^{100}$. Si escludono dunque le risposte A, D ed E.
Inoltre:
$2^{500}=(2^{100})^5=(2^{100})^{3+2}=(2^3 \times 2^2)^{100}=8^{100} \times 4^{100} > 5^{100} \times 2^{100} \implies 2^{500}>10^{100}$. Ciò non esclude né B né C.
Si ha però che: $4^{100} \times (4\times 2)^{100}=4^{100} \times 4^{100} \times 2^{100}<5^{100} \times 5^{100} \times 5^{100} \implies 2^{500}<5^{300}$.
Dato che $5^{300}>10^{100}$ e $2^{500}>10^{100}$, allora $5^{300}>2^{500}>10^{100}$.
La risposta corretta è la B.
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Livello 6
La B.
Si tratta di calcolarne il valore, anche in modo approssimativo, per poi procedere al confronto.
Per evitare numeri con tante cifre, useremo il loro logaritmo in base 10, che indichiamo con Log.
$ Log (x) ≝ log_{10} (x) $
D'altronde il Log è una funzione crescente quindi vale la relazione
Se a > b allora Log a > Log b , con a, b ∈ℝ⁺
i) Calcoliamo il Log delle basi
ii) Calcoliamo il valore approssimato ricordando una proprietà dei logaritmi.
iii) Per confronto segue che
$ 10^{100} < 2^{500} < 5^{300} $
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Livello 6
