Una "conchiglia archimedea" di cinque giorni, vista di lato, ha questo aspetto:
Ogni giorno essa cresce di mezzo giro: nel primo giorno si crea il tratto da $P_0$ a $P_1$, nel secondo quello fra $P_1$ e $P_2$ e così via. Qual è la funzione che descrive l'area della conchiglia dopo $n$ giorni di vita? (la griglia tratteggiata ha lato $a$ )
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Livello 0
Il raggio del semicerchio P0 P1 é a/2
e la sua area é 1/2 pi (a/2)^2 = pi a^2/8
da P1 a P2 il raggio é a
l'area é 1/2 pi a^2 = pi a^2/8 * 4
Da P2 a P3 il raggio é 3a/2
l'area é 1/2 pi 9a^2/4 = 1/8 pi a^2 * 9
Continuando in questo modo il generico semicerchio avrà area
pi a^2/8 * k^2
e l'area complessiva fino all'n.mo giro sarà
pi/8 a^2 Somma_k:1->n [k^2] =
= pi/8 a^2 * n(n+1)(2n+1)/6 =
= pi/48 * n(n+1)(2n+1) a^2
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Livello 7
@eidosm Grazie, ma il testo riporta come risultato pi/8*a^2*(2n^2-2n+1).
Temo che abbia sbagliato lui. Per n = 3, 2*3^2 - 2*3 + 1 = 18 - 6 + 1 = 13
invece 1 + 2^2 + 3^2 = 14
@eidosm Grazie, non avevo pensato a fare la verifica numerica
dividendo in due la conchiglia abbiamo
la parte sopra che cresce nei
giorni dispari di:
1/2pi*[(a/2)*n]^2 n= 1 3 5 7 ....
nei giorni pari n= 2 4 6 8 ...
l'area aumenta di
1/2pi* [a*(n-1)]^2
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Livello 5
@maurilio57 Grazie, ma il testo riporta come risultato pi/8*a^2*(2n^2-2n+1)
ho lasciato lo svolgimento a meta...
me ne rendo conto sol ora!
le due metà andavan svolte e sommate
sarà per la prossima volta...
