[Risolto] Complementi di algebra

Per risolvere il seguente esercizio ci basta sapere come risolvere le equazioni fratte di secondo grado. Vediamo un pò cosa possiamo dire in merito. Le equazioni fratte di secondo grado sono delle particolari tipi di equazioni che si differenziano da quelle normali per un motivo sostanzialmente :

Sono equazioni definite mediante frazioni algebriche in cui l'incognita compare almeno una volta al denominatore e tali da essere ricondotti a equazioni di secondo grado o eventualmente a equazioni senza incognite.

Sappiamo bene che per quando riguarda le equazioni fratte l'analisi delle soluzioni si complica un pò di più rispetto alle equazioni intere. Infatti può accadere che :

$1$ :  L'equazione ammetta un numero $finito$ di soluzioni e in questo caso parliamo di $equazione$ $determinata$;

$2$ :  L'equazione ammetta un numero $infinito$ di soluzioni e in questo caso parliamo di $equazioni$ $indeterminate$;

$3$ :   L'equazione non ammetta alcuna soluzione reale e in questo caso parliamo di $equazioni$ $impossibili$.

Ma le cose non sono così semplici come sembrano, infatti le equazioni fratte, come già sappiamo, non sono sempre definite del campo reale perciò dobbiamo porvi delle condizioni di esistenza le quali ci assicurano che per qualunque possibile scelta della nostra incognita l'equazione continua ad essere definita.

Dunque quello che dobbiamo fare è individuare quel sottoinsieme dei numeri reali in cui l'equazione risulta essere definita. Per farlo dobbiamo escludere i valori dell'incognita $x$ che annullano i denominatori. Ma in $R$ l'unico elemento a non essere invertibile rispetto alla moltiplicazione è proprio lo $0$, cioè non esiste alcun elemento $a$ $\in$ $R$ tale che $0$ $\cdot$  $\displaystyle\frac{1}{a}$   $=$   $1$. Quindi il numero  $\displaystyle\frac{1}{0}$  non appartiene all'insieme $R$ e di conseguenza non possono esistere espressioni del tipo  $\displaystyle\frac{a}{0}$  questo $\bigl($ $\forall$$a$ $\in$ $R$ $\bigr)$.

Ora per risolvere l'esercizio imponiamo le nostre condizioni di esistenza quindi :

$x^{2}$  $=$  $15$  $-$  $\displaystyle\frac{ 54 }{ x^{2} }$   $\bigl($ $Supponendo$  $x$  $\neq$  $0$ $\bigr)$

$x^{2}$  $+$  $\displaystyle\frac{ 54 }{ x^{2} }$  $=$  $15$

$\displaystyle\frac{ x^{4} + 54  }{ x^{2} }$  $=$  $15$

$x^{4}$  $+$  $54$  $=$  $15x^{2}$

$x^{4}$  $+$  $54$  $-$   $15x^{2}$  $=$  $0$

Arrivati a questo punto possiamo applicare benissimo il $Teorema$ $di$ $Ruffini$ e provare che esiste una radice che annulla il nostro polinomio. In conclusione avremo :

$\bigl($  $x$  $-$  $3$  $\bigr)$$\bigl($  $x^{3}$  $+$  $3x^{2}$  $-$ $6x$  $-$  $18$  $\bigr)$  $=$  $0$

$\bigl($  $x$  $-$  $3$  $\bigr)$$\bigl($  $x$  $+$  $3$  $\bigr)$$\bigl($  $x^{2}$  $-$  $6$  $\bigr)$  $=$  $0$

$\bigl($  $x$  $-$  $3$  $\bigr)$$\bigl($  $x$  $+$  $3$  $\bigr)$$\bigl($ $x$ $-$ $\sqrt{6}$ $\bigr)$$\bigl($ $x$ $+$ $\sqrt{6}$ $\bigr)$  $=$  $0$   Quindi :

$\bigl($  $x$  $-$  $3$  $\bigr)$$\bigl($  $x$  $+$  $3$  $\bigr)$$\bigl($ $x$ $-$ $\sqrt{6}$ $\bigr)$$\bigl($ $x$ $+$ $\sqrt{6}$ $\bigr)$  $=$  $0$  $\iff$

$\iff$ $\bigl($  $x$  $=$  $3$  $\bigr)$ $\lor$ $\bigl($  $x$  $=$  $-3$  $\bigr)$ $\lor$  $\bigl($  $x$  $=$  $\sqrt{6}$  $\bigr)$ $\lor$ $\bigl($  $x$  $=$  $-$$\sqrt{6}$  $\bigr)$