Compito d'esame

@frank9090

Ciao. Ti faccio i numeri 1-3-4

La y'=dy/x è una funzione definita a tratti continua nell'intervallo chiuso [-5,5]. Per quanto riguarda la funzione y ottenibile per integrazione dobbiamo mettere in conto che anche essa deve essere continua in tale intervallo.

Nel primo tratto lineare della derivata y' abbiamo:

(y - 3)/(x + 5) = (0 - 3)/(-2 + 5)-------> y' = -x - 2

Il secondo tratto è parabolico con asse verticale e passa per l'origine:

y = a·x^2 + b·x

per ottenere le due costanti:

{- b/(2·a) = -1

{-1 = a·(-1)^2 + b·(-1)

quindi risolviamo il sistema:

{b = 2·a

{a - b = -1

ed otteniamo: [a = 1 ∧ b = 2]-----> y' = x^2 + 2·x

Verifichiamo che per x=1 abbiamo y=3

y = 1^2 + 2·1------> y = 3

Il terzo tratto appartiene ad una parabola ad asse orizzontale:

x = a·y^2 + b·y + c

{- b/(2·a) = 3

{1 = a·3^2 + b·3 + c

{5 = a·5^2 + b·5 + c

Quindi risolvendo il sistema abbiamo:

{b = - 6·a

{9·a + 3·b + c = 1

{25·a + 5·b + c = 5

soluzione: [a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 10]

x = y^2 - 6·y + 10 che risolviamo rispetto alla y:

y = 3 - √(x - 1) ∨ y = √(x - 1) + 3------> y' = √(x - 1) + 3

Abbiamo quindi la funzione definita a tratti:

y'=

{ -x - 2 se -5 ≤ x < -2

{x^2 + 2·x se -2 ≤ x < 1

{√(x - 1) + 3 se 1 ≤ x ≤ 5

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Determiniamo la funzione y che deve essere continua nell'intervallo [-5,5]

∫ (-x - 2) dx = - x^2/2 - 2·x + c

con le condizioni iniziali deve essere:

- (-5)^2/2 - 2·(-5) + c = 0-----> c = 5/2

quindi prima componente della f(x) = - x^2/2 - 2·x + 5/2  valida per -5 ≤ x < -2

Il valore che ha alla fine dell'intervallo deve essere quello che fornisce le condizioni iniziali per la seconda componente.

y = - (-2)^2/2 - 2·(-2) + 5/2-----> y = 9/2

∫(x^2 + 2·x)dx = x^3/3 + x^2 + c

(-2)^3/3 + (-2)^2 + c = 9/2------> c = 19/6

y = x^3/3 + x^2 + 19/6 valida per -2 ≤ x < 1

Analogamente procediamo per la terza componente:

La seconda per x=1: y = 1^3/3 + 1^2 + 19/6----> y = 9/2

∫ (√(x - 1) + 3) dx = 2·(x - 1)^(3/2)/3 + 3·x + c

2·(1 - 1)^(3/2)/3 + 3·1 + c = 9/2----> c + 3 = 9/2----> c = 3/2

y = 2·(x - 1)^(3/2)/3 + 3·x + 3/2 valida per 1 ≤ x ≤ 5

Quindi:

y=f(x)=

{ - x^2/2 - 2·x + 5/2 se -5 ≤ x < -2

{ x^3/3 + x^2 + 19/6 se -2 ≤ x < 1

{2·(x - 1)^(3/2)/3 + 3·x + 3/2 se 1 ≤ x ≤ 5

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GRAFICI

La parte riguardante il punto di flesso è in corrispondenza della seconda componente:

y=x^3/3 + x^2 + 19/6

la cui derivata seconda è:

y''= 2·x + 2 = 0  -----> x = -1

f(-1)=(-1)^3/3 + (-1)^2 + 19/6----> 23/6