Esercizi

Question

2. Studia il fascio di parabole di equazione
$$
y=(-3 k-1) x^2+(-3 k+5) x+(k+3)
$$
Fra le parabole del fascio determina:
a) le parabole degeneri
b) quella che incontra I'asse delle ascisse in due punti tali che la somma delle ascisse sia 9
c) quella che ha il vertice sull' asse delle ascisse
d) quella che ha il vertice sull'asse delle ordinate
e) quella che passa per I'origine degli assi

3. Una parabola con asse parallelo a y passa per $A(2 ; 0)$ e $B(-2 ;-16)$ ed è tangente in quest'ultimo punto alla retta t di coefficiente angolare 16
a) Determina l'equazione della parabola
b) Rappresentala graficamente
c) Calcola I'area del segmento parabolico delimitato dalla corda $A B$
d) Determina sull'arco $\mathbf{A B}$ il punto $\mathrm{P}$ equidistante da $\mathrm{A}$ e da $\mathrm{B}$
e) Determina sulla retta til punto $Q$ di ascissa 2 e da questo punto I'equazione dell'altra retta tangente

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Niccologhghj

(@niccologhghj)

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21/04/2023 11:38

exProf · Accepted Answer

Esercizio n° 1: ILLEGGIBILE.------------------------------Esercizio n° 2Il fascio* Γ(k) ≡ y = - (3*k + 1)*x^2 - (3*k - 5)*x + (k + 3)ha parametrici tutt'e tre i coefficienti a secondo membro e perciò tre casi particolari* Γ(- 3) ≡ y = y = 8*x^2 + 14*x (per l'origine; quesito "e")* Γ(- 1/3) ≡ y = 6*x + 8/3 (degenere semplice; quesito "a")* Γ(5/3) ≡ y = 14/3 - 6*x^2 (vertice su asse y; quesito "d")che rispondono a due quesiti e mezzo; l'impossibilità di azzerare il coefficiente di y risponde all'altro mezzo quesito: non esistono degeneri doppie.---------------Per ogni k != - 1/3 si scrive, per completamento di quadrato,* Γ(k) ≡ y = (x + (3*k - 5)/(6*k + 2))^2 - (21*k^2 + 10*k + 37)/(6*k + 2)^2da cui leggere le coordinate dei vertici* V(- (3*k - 5)/(6*k + 2), - (21*k^2 + 10*k + 37)/(6*k + 2)^2)ed anche, per fattorizzazione,* Γ(k) ≡ y = (x - ((5 - 3*k - √(21*k^2 + 10*k + 37))/(6*k + 2)))*(x - ((5 - 3*k + √(21*k^2 + 10*k + 37))/(6*k + 2)))---------------Quesito "b"* ((5 - 3*k - √(21*k^2 + 10*k + 37))/(6*k + 2)) + ((5 - 3*k + √(21*k^2 + 10*k + 37))/(6*k + 2)) = 9 ≡≡ 6/(3*k + 1) - 1 = 9 ≡≡ k = - 2/15da cui* Γ(- 2/15) ≡ y = (- 9*x^2 + 81*x + 43)/15---------------Quesito "c"* - (21*k^2 + 10*k + 37)/(6*k + 2)^2 = 0 ≡ non esistono radici realiNessuna parabola del fascio ha un quadrato di binomio a secondo membro.------------------------------Esercizio n° 3: CONTRO IL REGOLAMENTO.

LucianoP · Answer

Un solo esercizio per volta come da:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Appena posso svolgo il N° 3:

Retta tangente in B[-2, -16]

m = 16

y + 16 = 16·(x + 2)-----> y = 16·x + 16

parabola del tipo: y = a·x^2 + b·x + c

{0 = a·2^2 + b·2 + c

{-16 = a·(-2)^2 + b·(-2) + c

quindi (passa per i punti dati):

{4·a + 2·b + c = 0

{4·a - 2·b + c = -16

risolvo ed ottengo: [b = 4 ∧ c = - 4·(a + 2)]

Quindi la parabola è del tipo: y = a·x^2 + 4·x - 4·(a + 2)

Calcolo con formule di sdoppiamento la retta tangente in B

(y - 16)/2 = a·(- 2·x) + 4·(x - 2)/2 - 4·(a + 2)

Sviluppo i calcoli ed ottengo:

y = 4·x·(1 - a) - 8·(a + 1)

che confronto con la retta ottenuta inizialmente: y = 16·x + 16

Quindi devo avere:

{4·(1 - a) = 16

{- 8·(a + 1) = 16

In ogni caso ottengo: a = -3

Quindi: c = - 4·(-3 + 2)----> c = 4

La parabola è: y = - 3·x^2 + 4·x + 4

LucianoP

(@lucianop)

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21/04/2023 15:54

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