[Risolto] Come si svolge questo integrale per sostituzione?

$ 7 \int \frac{1}{x(1+x^2)} \,dx = $

per decomposizione 

$ \frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2} $

$ 1 = A + Ax^2 + Bx^2 + Cx $

per il principio di identità dei polinomi

$ \begin{cases} A+B = 0 \\ C = 0 \\ A = 1 \end{cases} $

per cui  A = 1; B = -1; C=0

$ = 7 \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = $

$ = 7 ln|x| - \frac{7}{2} ln(1+x^2) + c $

Riportiamo la soluzione per sostituzione il secondo integrale

$  \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = $

Poniamo $ t = 1+x^2 \; ⇒ \; dt = 2x \, dx \; ⇒ \; \frac{1}{2} dt = x\, dx $

$ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = $

$ = \frac{1}{2} ln|t| + c = $      ritornando alla variabile originaria

$ = \frac{1}{2} ln|1+x^2| + c $

Problema:

Si risolva il seguente integrale:

$\int \frac{7}{x}(1+x²) dx$

Soluzione:

La sostituzione non è necessaria, complica solamente la faccenda.

$\int \frac{7}{x}(1+x²) dx=\int \frac{7}{x} +7x dx=7\ln |x| +\frac{7x²}{2}+C$.

In ogni caso se proprio dovessi usare la sostituzione userei $t=1+x² \to dt=2x dx \to x=\sqrt{t-1}$

Ottenendo dunque $\int t \frac{7dt}{2(\sqrt{t-1})²}=\int \frac{7tdt}{2t-2}=\frac{7}{2} \int \frac{t}{t-1}dt$

Da qui procederei con la sostituzione $u=x-1$