[Risolto] come si risolve

Una palla omogenea di raggio r = 15 cm e massa m = 3 kg parte da terra rotolando con una velocità n di 5 giri/s e risale un piano inclinato assieme ad un anello avente le stesse caratteristiche di massa, raggio e velocità .
> Se i due oggetti rotolano senza slittare, fino a che altezza risalgono?

la massa non conta (si semplifica )

sfera omogenea 

0,7 mV^2 = m*g*h

la massa m si elide

h = 0,7*V^2/g = 0,7*(5*6,2832*0,15)^2/19,612 = 1,585 m 

 

anello di spessore irrilevante 

mV^2 = m*g*h

la massa m si elide

h = V^2/g = (5*6,2832*0,15)^2/19,612 = 2,264 m 

 

bonus

sfera totalmente cava 

5/6mV^2 = m*g*h

la massa m si elide

h = 5/6*V^2/g = 5/6*(5*6,2832*0,15)^2/19,612 = 1,888 m 

 

disco omogeneo 

0,75mV^2 = m*g*h

la massa m si elide

h = 0,75*V^2/g = 0,75*(5*6,2832*0,15)^2/19,612 = 1,698 m 

 

 

 

 

 

Se i due oggetti rotolano senza strisciare si conserva l'energia meccanica. L'energia cinetica iniziale traslazionale e rotazionale dei due oggetti si trasforma in energia potenziale gravitazionale nel punto più alto raggiunto.

 

Conoscendo la frequenza  (numero di giri al secondo), possiamo determinare la velocità tangenziale

 

v= (2*pi*R)/T = 2*pi*R*f = 4,71  m/s

 

L'energia cinetica iniziale dei due oggetti è:

E= (1/2)*m*v² + (1/2)*I* (v²/R²)

 

dove:

I = Momento d'inerzia palla piena = (2/5)*m*R²

 

L'energia cinetica associata alla palla è quindi:

E_palla = [1/2 + (1/2)(2/5)]*m*v² = (7/10)*m*v²

 

I = Momento d'inerzia anello = mR²

L'energia cinetica associata all'anello è:

E_anello = (1/2 + 1/2)*m*v² = m*v²

 

Il principio di conservazione dell'energia meccanica permette di determinare l'altezza raggiunta. L'anello raggiunge un punto più alto rispetto alla palla 

 

H_palla = (7*v²)/(10*g) = 1,58 m

 

H_anello = v²/g = 2,26 m