Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si determina l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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198) Chiede di risolvere il problema di ricavare (a, b, q) dalla forma normale canonica e di applicarne il risultato a due casi specificati uno da una condizione di passaggio e l'altro dalla misura del raggio.
Le azioni per passare da canonica a standard sono: commutare, completare i quadrati, sottrarre membro a membro il termine noto.
La circonferenza data
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 4*y + 1 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 - 4*y + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + (y - 2)^2 - 2^2 + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1^2 - 2^2 + 1 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2
ha centro C(1, 2) ed è l'elemento di raggio due del fascio concentrico
* Γ(r) ≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = q = r^2
di cui sono elementi le due circonferenze richieste
b) Γ(4) ≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4^2
a) il raggio di quella per P(- 1, 0) si ricava dal vincolo d'appartenenza
* (- 1 - 1)^2 + (0 - 2)^2 = q = r^2 ≡ 8 = q = r^2 ≡ r = 2*√2
da cui
* Γ(2*√2) ≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8
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199) Chiede di risolvere tre problemi distinti, ma vagamente correlati dal fatto che per risolvere il secondo servono i risultati del primo e del terzo.
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199.3) Per il punto P(3, 4) passano tutte e sole le rette:
* x = 3, parallela all'asse y;
* y = 4 + k*(x - 3), per ogni pendenza k reale.
La retta data
* y = - x + 1
ha pendenza m = - 1.
La richiesta retta r per P(3, 4) è
* r ≡ y = 4 + (- 1)*(x - 3) ≡ y = 7 - x
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199.1) La circonferenza per tre punti dati è il circumcerchio del triangolo che li ha per vertici, centrato nell'unico punto C del piano equidistante da essi e di raggio R la comune distanza.
I punti dati
* A(- 3, 2), B(1, - 2), C(1, 2)
mostrano allineamenti su due rette coordinate: A e C sulla y = 2; B e C sulla x = 1.
Quindi il triangolo ABC è rettangolo in C ed è inscritto nella semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa AB, con:
* circumcentro il punto medio di AB, C(- 1, 0)
* circumraggio la semipotenusa R = |AB|/2 = 2*√2
* equazione Γ ≡ (x + 1)^2 + y^2 = 8
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199.2) Chiede di calcolare la distanza fra il punto C(- 1, 0) e la retta r ≡ y = 7 - x.
Non sapendo quale sia il metodo usato in classe tua, ti dico il mio: consultare il MIO formulario dove raccolgo le cose che più mi hanno interessato e dove trovo la nota «La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
»
ricavata minimizzando la distanza |CP| fra il punto C(- 1, 0) dato e il punto P(k, 7 - k) cursore della retta data
* |CP| = d(k) = √(2*((k - 3)^2 + 16)) >= d(3) = 4*√2
