come faccio trovare il centro per ricavare l’equazione della circonferenza?
come faccio trovare il centro per ricavare l’equazione della circonferenza?
"come faccio trovare il centro per ricavare l'equazione della circonferenza?"
Fai le due cose in simultanea, come segue.
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Il vincolo d'appartenenza a Γ di P(- 2, 0) è
* (- 2 - a)^2 + (0 - b)^2 = q
da cui
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = (a + 2)^2 + b^2 = r^2
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La retta tangente Γ in T(2, 4) passa per X(14, 0)
* t ≡ TX ≡ y = (14 - x)/3
con pendenza m = - 1/3; quindi il raggio CT deve giacere sulla
* y = 3*x - 2
con la pendenza antinversa m' = - 1/m = 3; pertanto si ha
* C(a, 3*a - 2)
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - (3*a - 2))^2 = 2*(5*a^2 - 4*a + 4) = r^2
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Il sistema
* t & Γ ≡ (y = (14 - x)/3) & ((x - a)^2 + (y - (3*a - 2))^2 = 2*(5*a^2 - 4*a + 4))
ha risolvente
* (x - a)^2 + ((14 - x)/3 - (3*a - 2))^2 - 2*(5*a^2 - 4*a + 4) = 0 ≡
≡ 5*x^2 - 20*x - 144*a + 164 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = 2880*(a - 1) = 0 ≡ a = 1
da cui
* C(1, 2)
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10 = r^2
* r = √10
Scrivi la retta passante per i due punti:
T(2,4) e (14,0)
Scrivi la retta ad essa perpendicolare in T (coefficiente angolare antireciproco di quello trovato precedentemente)-
Il centro della circonferenza è sulla retta trovata ed è equidistante da (-2,0) e T(2,4)
(ci vuole più a dirlo che a farlo!)
Se vuoi trovare direttamente le coordinate del centro in qs problema, puoi farlo anche lavorando soltanto su equazioni di rette. Dobbiamo considerare che:
1) Il centro, dovendo avere uguale distanza da A(-2,0) e da T(2,4), si trova sul asse del segmento AT.
Per trovare l'equazione di quest'asse,
a) trovi il punto di mezzo tra A e T, diciamo M
b) trovi l'inclinazione di una retta passante per A e T
c) scrivi l'equazione di una retta perpendicolare alla retta AT, che passi per il punto di mezzo M.
2) Il centro deve anche trovarsi sulla retta che passa per T ed è perpendicolare alla retta tangente TB. Quindi
a) Trovi l'equazione di questa retta, usando la formula del passaggio tra i due punti già noti, T e B(14,0).
b) da tale equazione, ricavi il coeff. angolare perpendicolare ad essa
c) usi tale coeff. per scrivere l'equazione della retta che passa per T, ed è perpendicolare appunto alla retta TB.
Ora non ti resta che fare il sistema tra quest'ultima retta trovata e la retta trovata precedentemente come asse di AT. Troverai C(1,1)
😉