[Risolto] Circonferenza sul piano cartesiano

"come faccio trovare il centro per ricavare l'equazione della circonferenza?"
Fai le due cose in simultanea, come segue.
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Il vincolo d'appartenenza a Γ di P(- 2, 0) è
* (- 2 - a)^2 + (0 - b)^2 = q
da cui
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = (a + 2)^2 + b^2 = r^2
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La retta tangente Γ in T(2, 4) passa per X(14, 0)
* t ≡ TX ≡ y = (14 - x)/3
con pendenza m = - 1/3; quindi il raggio CT deve giacere sulla
* y = 3*x - 2
con la pendenza antinversa m' = - 1/m = 3; pertanto si ha
* C(a, 3*a - 2)
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - (3*a - 2))^2 = 2*(5*a^2 - 4*a + 4) = r^2
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Il sistema
* t & Γ ≡ (y = (14 - x)/3) & ((x - a)^2 + (y - (3*a - 2))^2 = 2*(5*a^2 - 4*a + 4))
ha risolvente
* (x - a)^2 + ((14 - x)/3 - (3*a - 2))^2 - 2*(5*a^2 - 4*a + 4) = 0 ≡
≡ 5*x^2 - 20*x - 144*a + 164 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = 2880*(a - 1) = 0 ≡ a = 1
da cui
* C(1, 2)
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 10 = r^2
* r = √10

Scrivi la retta passante per i due punti:

T(2,4) e (14,0)

Scrivi la retta ad essa perpendicolare in T (coefficiente angolare antireciproco di quello trovato precedentemente)-

Il centro della circonferenza  è sulla retta trovata ed è equidistante da (-2,0) e T(2,4)

(ci vuole più a dirlo che a farlo!)

Se vuoi trovare direttamente le coordinate del centro in qs problema, puoi farlo anche lavorando soltanto su equazioni di rette. Dobbiamo considerare che:

1)  Il centro, dovendo avere uguale distanza da A(-2,0) e da T(2,4), si trova sul asse del segmento AT.
Per trovare l'equazione di quest'asse,
a) trovi il punto di mezzo tra A e T, diciamo M
b) trovi l'inclinazione di una retta passante per A e T
c) scrivi l'equazione di una retta perpendicolare alla retta AT, che passi per il punto di mezzo M.

2)  Il centro deve anche trovarsi sulla retta che passa per T ed è perpendicolare alla retta tangente TB. Quindi 
a) Trovi l'equazione di questa retta, usando la formula del passaggio tra i due punti già noti, T e B(14,0).
b) da tale equazione, ricavi il coeff. angolare perpendicolare ad essa
c) usi tale coeff. per scrivere l'equazione della retta che passa per T, ed è perpendicolare appunto alla retta TB.

Ora non ti resta che fare il sistema tra quest'ultima retta trovata e la retta trovata precedentemente come asse di AT. Troverai C(1,1)
😉