[Risolto] Calcola l’area del triangolo (Circonferenza sul piano cartesiano)

{y = -x + 5

{2·x - y - 7 = 0

r = √10 raggio circonferenza

Il centro della circonferenza risolvendo il sistema: [x = 4 ∧ y = 1]

Quindi altro sistema per determinare A e B:

{(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 10

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 0, x = 7 ∧ y = 0]

Con le formule di sdoppiamento determino rette tangenti in 

[1, 0] e [7, 0] alla circonferenza trovata: x^2 + y^2 - 8·x - 2·y + 7 = 0

1·x + 0·y - 8·(x + 1)/2 - 2·(y + 0)/2 + 7 = 0

- 3·x - y + 3 = 0----> 3·x + y - 3 = 0

7·x + 0·y - 8·(x + 7)/2 - 2·(y + 0)/2 + 7 = 0

3·x - y - 21 = 0

Determino quindi C risolvendo il sistema delle due rette trovate:

{3·x + y - 3 = 0

{3·x - y - 21 = 0

ottenendo: [x = 4 ∧ y = -9]

b = 7 - 1 = 6 = base triangolo ABC

h = 0 - (-9) = 9 = altezza triangolo ABC

Α = 1/2·6·9-----> Α = 27 = area triangolo ABC

 

"non riesco a trovare il punto C!"
Sarà perché per intersecare due rette prima le devi scrivere?
E tu le hai scritte? No? Ma allora che vai cercando!
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Intersecando le rette date
* (y = 5 - x) & (2*x - y - 7 = 0) ≡ C(4, 1)
si determina
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 10 ≡ x^2 + y^2 - 8*x - 2*y + 7 = 0
da cui
* (y = 0) & ((x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 10) ≡ A(1, 0) oppure B(7, 0)
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Sdoppiando la forma normale canonica di Γ rispetto ai poli A e B se ne determinano le rette polari pA e pB che, essendo A e B su Γ, sono le tangenti necessarie a intersecarsi nel punto C.
* pA ≡ x*1 + y*0 - 8*(x + 1)/2 - 2*(y + 0)/2 + 7 = 0 ≡ y = 3*(1 - x)
* pB ≡ x*7 + y*0 - 8*(x + 7)/2 - 2*(y + 0)/2 + 7 = 0 ≡ y = 3*(x - 7)
da cui
* (y = 3*(1 - x)) & (y = 3*(x - 7)) ≡ C(4, - 9)
* S(ABC) = |xB - xA|*|yC - yAB|/2 = 6*9/2 = 27
che è proprio il risultato atteso.