[Risolto] CIRCONFERENZA/PARABOLA

• Circonferenza

Con riferimento al grafico allegato, è immediato che 

• • • Centro circonferenza è il punto Medio del segmento OA, cioè M(1,1)
    • diametro circonferenza d è eguale alla distanza di A dall'origine O. d = 2√2; quindi il raggio della circonferenza sarà r = √2
    • Equazione della circonferenza di centro M(1,1) e raggio r = √2

$ (x-1)^2+(y-1)^2 = 2 \quad \implies \quad x^2+y^2-2x-2y = 0$

• • • Retta tangente in A(2,2)
      • Fascio rette passante per A(2,2); y =m(x-2)+2
      • Intersezioni circonferenza/fascio

$ \left\{\begin{aligned} x^2+y^2-2x-2y &= 0 \\ y -m(x-2) -2 &= 0 \end{aligned} \right.$

• • • • Equazione di secondo grado in x associata al sistema

$(1+m^2)x^2 + (2m-4m^2-2)x +(4m^2-4m) = 0$

• • • • Discriminante 

$Δ = (2m-4m^2-2)^2 - 4(1+m^2)(4m^2-4m)$

• • • • • Δ = 0 per m = -1
      • retta tangente $ x+y = 4 $
• Parabola
  • Asse simmetria // asse delle y ⇒ y = ax^2+bx+c
  • Passa per O(0,0) ⇒ c = 0. L'equazione è del tipo y = ax^2 +bx
  • Passa per A(2,2) ⇒ 4a+2b = 2 ⇒ b = 1-2a
  • E' tangente in A(2,2) alla retta x+y = 4

Sistema

$ \left\{\begin{aligned} y  &= ax^2 + (1-2a)x \\ y &= 4-x \end{aligned} \right.$

$ ax^2 -2(1-a)x-4=0$

$ Δ = (1-a)^2 +4a = 0 $

Poniamo, per avere la tangenza, il discriminante eguale a 0.

$a^2 +2a+1 = 0$

$(a+1)^2 = 0$

a = -1

La parabola ha così equazione

$y = -x^2 +3x $