[Risolto] CIRCONFERENZA NELLO SPAZIO

Non so se è il modo migliore, comunque provo.

Per prima cosa trova il piano passante per i tre punti. dopo alcuni calcoli (è un semplice sistema lineare 3x3) ottieni che il tuo piano è:

$x-5y+9z-2=0$

adesso devi trovare il circocentro del triangolo. Per definizione è il punto di incontro degli assi dei tre lati. Ce ne bastano 2 in realtà. Quindi per prima cosa calcoliamo il punto medio del lato $AB$:

$M_{AB}=(5/2,1,1/2)$

Il vettore AB è $(1,2,1)$ quindi il generico piano perpendicolare a tale vettore è dato da:

$x+2y+z+d=0$

adesso imponi il passaggio per $M_{AB}$ e trovi il piano

$x+2y+z-5=0$

Ripeti lo stesso per il lato AC (oppure BC):

$M_{AC}=(0,1/2,1/2)$

Il vettore AC è $(-4,1,1)$ quindi il generico piamo perpendocolare a tale vettore è dato da:

$-4x+y+z+d=0$

adesso imponi il passaggio per $M_{AC}$ e trovi il piano

$-4x+y+z-1=0$

Questi due piani si intersecano in una retta che in forma parametrica puoi esprimere come:

$x=t$

$y=-5t+4$

$z=9t-3$

Adesso interseca questa retta con il piano contenente i punti A,B,C e trovi il circocentro che ha coordinate:

$D=(49/107, 183/107, 120/107)$

Ho verificato che le tre distanze AD, BD e CD siano uguali con un foglio excel. in ogni caso la distanza va calcolata e risulta il raggio della sfera che andrai a scrivere.

$R=\frac{3\sqrt{6}\sqrt{13}}{\sqrt{107}}$

adesso scrivi la sfera di centro D e raggio R:

$(x-49/107)^2+(y-183/107)^2+(z-120/107)^2=702/107$

questa la metti a sistema con il piano $x-5y+9z-2=0$ contenente i punti A,B,C e ottieni la tua circonferenza circoscritta.

Edit: 

mi sono appena accorto che ho usato il ipunto B(3,2,1) e non (3,2,-1) come nel testo. Il procedimento rimane valido, ma i numeri vanno cambiati. Se dopo trovo il tempo correggo.

CORREZIONE

il piano che contiene i 3 punti ha eq.

$x+y+3z-2=0$

il punto $M_{AB}=(5/2,1,-1/2)$

e quindi il piano "assiale" è 

$x+2y-z-5=0$

Il punto D (circocentro) risulta pertanto

$D=(3/11,25/11,-2/11)$

e il raggio $R=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

Adesso come faresti per trovare le tangenti alla circonferenza nei punti richiesti? vediamo se hai idee.

SI RISOLVE APPLICANDO LE DEFINIZIONI CON TUTTA LA PAZIENZA CHE SERVE.
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Per definizione il circumcerchio di un triangolo è la circonferenza centrata nell'unico punto K del suo piano equidistante dai vertici e con tale comune distanza come raggio. In R^3 il luogo dei punti equidistanti dai vertici è una retta e il circumcentro K è la sua intersezione col piano ABC.
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Le distanze (al quadrato) del generico punto P(x, y, z) dai vertici
* A(2, 0, 0), B(3, 2, - 1), C(- 2, 1, 1)
sono
* |PA|^2 = (x - 2)^2 + y^2 + z^2
* |PB|^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2
* |PC|^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2
e il loro sistema determina la retta dei K potenziali
* (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 ≡
≡ k ≡ (y = x + 2) & (z = 3*x - 1)
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Il piano ABC si ottiene dal sistema dei vincoli d'appartenenza di A, B, C a
* x + b*y + c*z = d
cioè
* (2 = d) & (3 + b*2 - c = d) & (- 2 + b*1 + c*1 = d) ≡
≡ (b = 1) & (c = 3) & (d = 2)
da cui
* ABC ≡ x + y + 3*z = 2
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K è l'intersezione
* k & ABC ≡ (y = x + 2) & (z = 3*x - 1) & (x + y + 3*z = 2) ≡
≡ K(3/11, 25/11, - 2/11)
da cui
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2 = 90/11
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Il luogo dei punti distanti R da K è la sfera
* σ ≡ (x - 3/11)^2 + (y - 25/11)^2 + (z + 2/11)^2 = 90/11 ≡
≡ 11*x^2 + 11*y^2 + 11*z^2 - 6*x - 50*y + 4*z - 32 = 0
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La circonferenza richiesta è l'intersezione fra piano e sfera
* ABC & σ ≡
≡ (x + y + 3*z = 2) & (11*x^2 + 11*y^2 + 11*z^2 - 6*x - 50*y + 4*z - 32 = 0)
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Per definizione la retta tangente alla sfera σ nel punto T entro un dato piano α è l'intersezione fra α e il piano π polare di T rispetto a σ.
Però i tre piani polari te li ricavi da te, come detto ai link
http://dilucia.wordpress.com/tag/polarita-rispetto-ad-una-quadrica-non-degenere/
http://docs.google.com/document/d/10uehiNpUNdwBDB7W94RDKVeNwykB5yqGC-u1nVRnkS8/edit

(pag. 4)