Il 25 marzo 2021, nel corso dell'operazione «110 e frode», la Guardia di Finanza di Genova ha ARRESTATO un Professore e denunciato VENTIDUE studenti che facevano proprio quello che tu stai chiedendo con la pubblicazione di questa brutta foto (evidentemente scattata di nascosto) che implica la richiesta di svolgere una prova per conto tuo.
Loro erano tutti maggiorenni, ma tu lo sei?
Magari fai denunciare i tuoi genitori!
Ho letto tutto il compito e se l'avessi preparato io, anche se l'avrei scritto con parole diverse e rimodulando i punteggi, avrei lasciato due ore per svolgerlo: dalle 11h 50' inizio della quinta alle 13h 30' fine della sesta.
Alle 13h 30' però non potrò risponderti perché, da pensionato rottame, avrò da fare pasto e terapie; mi farò vivo nel pomeriggio.
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@GiorgiaBorrelli
AGGIUNTA (dopo un bel po': sono quasi le otto di sera!)
Ho avuto un pomeriggio di fuoco, quello che segue l'ho scritto a spizzichi e bocconi; m'è stato impossibile fare di meglio. Probabilmente troverai incongruenze e imprecisioni: sii comprensiva, bada alle intenzioni.
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ESERCIZIO #1
"Studia il fascio di parabole" è una consegna equivoca e imprecisa.
L'equazione parametrica
* (1 + k)*y - (2*k + 1)*x^2 - (2 + 2*k)*x + (8 - 3*k) = 0
con quattro coefficienti parametrici ha quattro casi particolari uno dei quali (8 = 3*k ≡ k = 8/3) risponde al quesito b e un altro (2*k + 1 = 0) fa sì che l'equazione rappresenti una retta semplice, mentre una parabola degenere è sempre una coppia di parallele anche se coincidenti.
Avendo di secondo grado solo un termine in x se questo non scompare (k != - 1/2) l'equazione rappresenta effettivamente il fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y
* Γ(k) ≡ y = (k*(2*x^2 + 2*x + 3) + x^2 + 2*x - 8)/(k + 1) & (k non in {- 1, - 1/2})
ovvero
* Γ(k) ≡ y = ((2*k + 1)/(k + 1))*x^2 + 2*x + (3*k - 8)/(k + 1) ≡
≡ y = ((2*k + 1)/(k + 1))*(x + (k + 1)/(2*k + 1))^2 + (5*k^2 - 15*k - 9)/(2*k^2 + 3*k + 1)
da cui si leggono le proprietà geometriche
* apertura a = (2*k + 1)/(k + 1)
* distanza focale f = 1/(4*|a|) = |k + 1|/(4*|2*k + 1|)
* vertice V(- (k + 1)/(2*k + 1), (5*k^2 - 15*k - 9)/(2*k^2 + 3*k + 1))
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Quesito A
* xF = xV = - (k + 1)/(2*k + 1) = 2 ≡ k = - 3/5
* Γ(- 3/5) ≡ y = ((- 3/5)*(2*x^2 + 2*x + 3) + x^2 + 2*x - 8)/(- 3/5 + 1) ≡
≡ y = - x^2/2 + 2*x - 49/2
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Quesito B
* Γ(8/3) ≡ y = ((8/3)*(2*x^2 + 2*x + 3) + x^2 + 2*x - 8)/(8/3 + 1) ≡
≡ y = (19/11)*x^2 + 2*x
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per ESERCIZI #1 bis e #3
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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ESERCIZIO #1 bis
Il centro C(- 1, 3) determina
* Γ(q) ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = q = r^2
Il passaggio per P(- 1, 1) determina
* r = |CP| = 2
* Γ ≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4 ≡
≡ x^2 + y^2 + 2*x - 6*y + 6 = 0
Le rette tangenti Γ per Q(- 2, 2) NON ESISTONO.
Infatti sostituendo Q in Γ si ha
* (- 2 + 1)^2 + (2 - 3)^2 = 2 < 4
e, se la dostanza da C è minore di r, Q è un punto interno.
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ESERCIZIO #3
Le circonferenze
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 - x - y = 0 ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/2
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 - 3*x + y + 2 = 0 ≡ (x - 3/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 1/2
con lo stesso raggio r = 1/√2, centri C1(1/2, 1/2) e C2(3/2, - 1/2) che individuano l'asse centrale
* c ≡ y = 1 - x
hanno in comune il solo punto doppio in cui si tangono
* ((x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/2) & ((x - 3/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 1/2) ≡
≡ T(1, 0)
con asse radicale la comune tangente, ortogonale a c,
* t ≡ y = x - 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-1%2F2%29%5E2--%28y-1%2F2%29%5E2%3D1%2F2%2C%28x-3%2F2%29%5E2--%28y--1%2F2%29%5E2%3D1%2F2%2Cy%5E2%3D%28x-1%29%5E2%5D
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Quindi il fascio generato da Γ1 e Γ2, con centro C(k, 1 - k) su c e con raggio r la distanza
* |CT| = r = √(2*(k - 1)^2)
ha equazione
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + k - 1)^2 = 2*(k - 1)^2
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Quesito A
C(k, 1 - k) è sull'asse x per k = 1
* Γ(1) ≡ (x - 1)^2 + y^2 = 0
circonferenza reale, ma degenere su C(1, 0) ≡ T
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Quesito B
La condizione di passaggio per (1, 2) impone il vincolo
* (1 - k)^2 + (2 + k - 1)^2 = 2*(k - 1)^2 ≡ k = 0
* Γ(0) ≡ x^2 + (y - 1)^2 = 2
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Quesito C
La condizione di tangenza alla x = 2 impone il vincolo
* r = √(2*(k - 1)^2) = |2 - k| (= |2 - xC|) ≡
≡ k^2 = 2 ≡
≡ k = ± √2
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ESERCIZIO #4
Se il nome x denota una variabile reale allora la funzione
* f(x) = y = 1 + √(- 1 - x^2 + 2*x) ≡
≡ y = 1 + √(- (x - 1)^2)
ha
* dominio: l'intero asse reale
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione reale: - (x - 1)^2 >= 0 ≡ x = 1
Quindi il grafico reale di f(x) è l'unico punto F(1, 1).
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ESERCIZIO #Facoltativo
Nel sistema
* (x^2 + y^2 = 9) & (y + 2*x + k = 0) & (x >= 0)
la disequazione x >= 0 rappresenta la consegna di limitare l'esame al semipiano destro, asse y compreso;
l'equazione x^2 + y^2 = 9 rappresenta la circonferenza di raggio tre centrata nell'origine;
la congiunzione (x^2 + y^2 = 9) & (x >= 0) rappresenta la semicirconferenza destra;
l'equazione y + 2*x + k = 0, avendo parametrico solo il termine noto, rappresenta il fascio di parallele di pendenza - 2
* y = - k - 2*x
dove "q = - k" è l'intercetta sull'asse y.
Pertanto
* q < - 3 ≡ k > 3 ≡
≡ zero soluzioni
* - 3 <= q < 3 ≡ - 3 < k <= 3 ≡
≡ una soluzione: ((√(45 - k^2) - 2*k)/5, (- 2*√(45 - k^2) - k)/5)
* 3 <= q < 3*√5 ≡ - 3*√5 < k <= - 3 ≡
≡ due soluzioni distinte: ((- 2*k ± √(45 - k^2))/5, (- k ∓ 2*√(45 - k^2))/5), con i doppi segni discordi
* q = 3*√5 ≡ k = - 3*√5 ≡
≡ una soluzione doppia: (- (2/5)*k, (- k/5)
* q > 3*√5 ≡ k < - 3*√5 ≡
≡ zero soluzioni
