La funzione
* f(x) = y = √(8*x + 9 - x^2)
rappresenta la semicirconferenza di centro C(4, 0) e raggio R = 5 che giace nel semipiano y > 0 quindi rappresentabile, con la condizione restrittiva (y > 0), anche da
* Γ ≡ (x - 4)^2 + y^2 = 5^2 ≡ x^2 + y^2 - 8*x - 9 = 0
cioè
* f(x) = (x^2 + y^2 - 8*x - 9 = 0) & (y > 0)
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Per simmetria rispetto all'ascissa del centro, xC = 4, i punti (A, B) che distano 8 devono essere alle ascisse xC = 4 ± 4; pertanto
* ((0 - 4)^2 + y^2 = (8 - 4)^2 + y^2 = 5^2) & (y > 0) ≡ y = 3 ≡ r
da cui
* A(0, 3), B(8, 3)
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Dalla forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*x - 9 = 0
si ricavano per sdoppiamento le polari dei poli A(0, 3) e B(8, 3) che, essendo i poli sulla conica, vi sono tangenti
* pA ≡ x*0 + y*3 - 8*(x + 0)/2 - 9 = 0 ≡ y = ( 9 + 4*x)/3
* pB ≡ x*8 + y*3 - 8*(x + 8)/2 - 9 = 0 ≡ y = (41 - 4*x)/3
Il triangolo isoscele descritto al punto "a", di base b = |AB| = 8, ha il vertice all'intersezione delle polari
* (y = (9 + 4*x)/3) & (y = (41 - 4*x)/3) ≡ V(4, 25/3)
e quindi altezza h ed area S
* h = |25/3 - 3| = 16/3
* S = b*h/2 = 8*(16/3)/2 = 64/3
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%283-y%29*%28%289--4*x%29%2F3-y%29*%28%2841+-+4*x%29%2F3-y%29%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%288*x--9-x%5E2%29%5Dx%3D-1to9%2Cy%3D0to10
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%280%2C3%29%288%2C3%29%284%2C25%2F3%29
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Il generico punto P(x, √(8*x + 9 - x^2)) dista da r il valore assoluto della differenza fra le ordinate
* y = |√(8*x + 9 - x^2) - 3|
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%7C%E2%88%9A%288*x--9-x%5E2%29-3%7C
