Considerati i punti A(0; 4) e B(12; 0), determina le equazioni delle due circonferenze di uguale raggio, aventi centro sulla retta AB, passanti una per A e l'altra per B e tangenti esternamente in un punto M. Calcola poi l'area del quadrilatero individuato dagli assi cartesiani, dalla retta AB e dalla retta tangente alle due circonferenze nel punto M
6
punti
Livello 0
Essendo le due circonferenze tangenti esternamente, la distanza tra i centri è pari alla somma dei raggi. Avendo le due circonferenze raggi congruenti e centri sulla retta comune: y= 4 - (1/3)*x il punto di tangenza risulta essere il punto medio del segmento AB.
Le coordinate del punto medio M sono:
M=(6, 2)
Le due circonferenze hanno quindi centri di coordinate rispettivamente:
C=(3, 3)
C1=(9,1)
Il raggio delle due circonferenze è:
R=radice (9+1)= radice (10)
Le equazioni delle due circonferenze sono:
(x-3)² + (y-3)² = 10
(x-9)² + (y-1)² = 10
La retta tangente in M alle due circonferenze è la retta passante per il punto M, perpendicolare alla retta passante per i centri (y= 4 - 1/3*x)
La retta tangente ha quindi equazione:
y-2 = 3*(x-6)
y= 3x - 16
Possiamo calcolare l'area del quadrilatero come somma delle aree di un triangolo rettangolo e un trapezio rettangolo.
Area_triangolo= (6*2)/2 = 6
Area_trapezio= (6+16/3)*2/2 = 34/3
L'area del quadrilatero è quindi 52/3
77016
punti
Genius II
