Salve, potreste darmi una mano in questo esercizio?
facendo uso di un opportuno parametro reale, scrivere l’equazione delle circonferenze aventi il centro sulla circonferenza di equazione x^2+y^2=1 e tangenti all’asse x.
Salve, potreste darmi una mano in questo esercizio?
facendo uso di un opportuno parametro reale, scrivere l’equazione delle circonferenze aventi il centro sulla circonferenza di equazione x^2+y^2=1 e tangenti all’asse x.
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Livello 0
Io proporrei di indicare il centro con C(t) = (cos t, sin t)
e di provare a esprimere r^2 in modo che
( x - cos t )^2 + (y - sin t)^2 = r^2
dia luogo ad una risolvente con discriminante nullo quando intersecata con y = 0
x^2 - 2x cos t + cos^2 (t) + sin^2(t) - r^2 = 0
x^2 - 2x cos t + 1 - r^2 = 0
D/4 = cos^2(t) - 1 + r^2 = 0
r^2 = 1 - cos^2(t) = sin^2(t)
Sostituendo
x^2 - 2x cos t + cos^2(t) + y^2 - 2y sin t + sin^2(t) = sin^2(t)
e, infine,
x^2 + y^2 - 2x cos t - 2y sin t + cos^2(t) = 0
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Livello 6
@eidosm grazie mille chiarissimo, ma abbiamo chiamato le coordinate di C (cos,sin) perché è consuetudine o in questo esercizio era più comodo usare le funzioni periodiche?
perché é naturale identificare la circonferenza di equazione x^2 + y^2 = 1 con quella goniometrica.
Il raggio di quelle circonferenze è l'ordinata del centro C(xC, yC).
* Γ ≡ (x - xC)^2 + (y - yC)^2 = (yC)^2
Per essere C su
* Γ0 ≡ x^2 + y^2 = 1
vedo bene proprio yC come "opportuno parametro reale" con
* - 1 <= k <= 1
* Γ(k) ≡ (x ± √(1 - k^2))^2 + (y ± k)^2 = k^2
dove i doppi segni stanno a indicare che, data le simmetria quadrantale del problema, si hanno quattro circonferenze simmetriche per ciascun valore di k all'interno del suo intervallo di variazione o due doppie per i valori estremi.
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Genius I