[Risolto] Circonferenza

@_ilaria

Ciao e benvenuta. Comincia a vedere:

Verifico il punto di tangenza:

2·(-1) + 2 = 0-----> 0 = 0 OK!

In centro sta sulla retta perpendicolare passante per il punto di tangenza P(2,-1)

y = - x/2 retta tangente----> m=-1/2

retta perpendicolare m=2

quindi: y = 2·x + q per P

-1 = 2·2 + q----> q = -5

Il centro della circonferenza si trova tramite sistema:

{y = 2·x - 5

{2·y - x - 2 = 0

risolvo ed ottengo: [x = 4 ∧ y = 3] in A(4,3)

Quindi r^2=PA

PA= (4 - 2)^2 + (3 + 1)^2 = 20

equazione cartesiana:

(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 20

equazione implicita:

x^2 + y^2 - 8·x - 6·y + 5 = 0

 

 

La retta
* t ≡ 2*y + x = 0 ≡ y = - x/2
passa per P(2, - 1) ed ha pendenza m = - 1/2, quindi le sue perpendicolari hanno pendenza m' = + 2; in particolare quella per P è la normale
* n ≡ y = 2*x - 5
Il centro C, dovendo cadere su questa normale oltre che sulla
* 2*y - x - 2 = 0 ≡ y = x/2 + 1
ha per coordinate la soluzione del sistema
* (y = 2*x - 5) & (y = x/2 + 1) ≡ C(4, 3)
Il raggio r della circonferenza Γ richiesta
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = q = r^2
è la distanza dal punto P(2, - 1) di tangenza
* r = |CP| = 2*√5
quindi l'equazione risulta
* Γ ≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = (2*√5)^2 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 - 6*y + 5 = 0
che è proprio il risultato atteso.