Circonferenza

@Syria005

Sappiamo che il centro C della circonferenza è sulla retta di equazione y= - 2x + 3.

Dalle proprietà geometriche della circonferenza sappiamo anche che il raggio vettore CA è perpendicolare alla retta tangente nel punto A. 

Ricaviamo l'equazione della retta r utilizzando la formula della retta passante per due punti. Si ricava:

r: y = (3/4)*x + 2

Quindi la retta contenente il raggio CA ha è perpendicolare ad r (prodotto dei coefficienti angolari = - 1) e passa per A

La sua equazione è quindi: y= - (4/3)*x + 2

Il centro C della circonferenza è quindi il punto di incontro delle due rette. Mettendo a sistema:

{y= - 2x + 3

{y = - (4/3)*x + 2

si ricava: C=( 3/2, 0)

La distanza CA fornisce il raggio della circonferenza. 

CA= radice (25/4) = 5/2 = R

Conoscendo centro e raggio si ricava l'equazione della circonferenza:

[x - (3/2)]² + y² = 25/4

Sviluppando i calcoli si ricava:

x² + y² - 3x - 4 = 0

Domanda b) 

Se la lunghezza delle corde intercettate dalla circonferenza con le rette del fascio y= - x + t deve essere pari a (5/2)*radice(2), possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la distanza delle corde dal centro C della circonferenza. Il raggio risulta essere l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti la distanza del centro C dalla corda e la metà della corda stessa. Quindi:

D= radice [(5/2)² - 25/8] = 5/[2*radice (2)]

Imponendo la condizione che la distanza C della circonferenza - fascio di rette y= - x+t sia uguale a D, possiamo ricavare i valori del parametro t e quindi le equazioni delle rette che soddisfano la condizione richiesta. 

Dalla distanza punto retta si ricava:

| (3/2) - t | / radice(2) = 5/(2*radice (2))

Ricordando la definizione di modulo e sviluppando i conti si ricavano i valori: t= - 1, t=4

Da cui si ricavano le equazioni delle rette:

y= - x + 4

y= - x - 1

Il rettangolo di cui si vuole determinare il perimetro ha due lati congruenti con le corde di lunghezza (5/2)*radice (2) e due lati congruenti con la distanza tra le due corde, quindi 2*D.

Allora:

2p = 2*D + 2*(5/2)*radice (2) = (5+5)* radice 2

2p= 10* radice (2)

Domanda C) 

Determino ora le tangenti alla circonferenza condotte dal punto P(4, - 5).

La circonferenza interseca l'asse delle X nei punti di ascissa:

{y=0

{x²+y² - 3x - 4 = 0

Da cui si ricava:

(x-4)*(x+1)=0  ==> x=4, x= - 1

X1=(4, 0)  ; X2= ( - 1, 0)

Quindi una delle due rette tangenti ha equazione x=4 in quanto P ha stessa ascissa di X1. 

Il punto di intersezione tra la prima tangente e la circonferenza ha coordinate: F=(4, 0)

Determino la seconda retta tangente imponendo la condizione che la distanza del centro C della circonferenza dalle rette del fascio proprio di centro (4 ; - 5) sia uguale a R=5/2.

Il fascio di rette proprio ha equazione:

y+5 = m*(x-4)

y= mx - 4m - 5

Imponendo la condizione distanza centro - fascio =R si ottiene:

| 0 - [(3/2)*m - 4m - 5] |/ radice (1+m²) = 5/2

|(5/2)*m + 5| / radice (1+m²) = 5/2

| m+2 | = radice (1+m²)

Sviluppando i conti si ricava il valore del parametro:

m= - 3/4

Sostituendo tale valore nel fascio di rette, si ricava l'equazione della retta tangente:

y= - (3/4)*x + 3 - 5

y = - (3/4)*x - 2

Possiamo determinare l'equazione della retta tangente ricordando le proprietà geometriche della circonferenza e il teorema delle tangenti condotte da un punto esterno. La retta congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti. 

Conoscendo l'equazione della bisettrice, y= - 2x+3 e il punto di tangenza della prima retta tangente x=4 con la circonferenza, pto (4,0), trovo il suo simmetrico rispetto alla bisettrice. L'equazione della retta per due punti mi fornisce l'equazione della seconda tangente. 

Il simmetrico di (4,0) rispetto alla bisettrice è il punto S(0, - 2)

La retta SP rappresenta la seconda tangente. 

y+5 = - (3/4)*(x - 4)

y = - (3/4)*x + 3 - 5

y = - (3/4)*x - 2

L'intersezione della circonferenza con la seconda tangente è il punto E= (0, - 2)

Possiamo a questo punto determinare il perimetro del triangolo (isoscele) EFP. 

Il triangolo risulta isoscele per il teorema delle tangenti condotte ad una circonferenza da un punto esterno => PE= PF

EP=FP = 5

EF= 2*radice (5) 

Quindi: 2p= 10+2*radice (5)

Si corre il rischio di risolvere esercizi non richiesti. Non si legge il numero dell’esercizio: qual è la sua posizione? Ossia è il primo , il secondo ….?

Quale difficoltà hai nello svolgimento? Cosa non ti è chiaro?