[Risolto] circonferenza

@rosso_rossi

Ciao

Parabola: y = a·x^2 con le caratteristiche indicate dal testo.

Determiniamo a:

2 = a·2^2----> a = 1/2

parabola:  y = 1/2·x^2

Passiamo alla retta: y = m·x + q

Si determinano m e q attraverso il sistema:

{0 = m·(-4) + q

{2 = m·2 + q

(passaggio per i punti dati)

{4·m - q = 0

{2·m + q = 2

Quindi: m = 1/3 ∧ q = 4/3 per cui la retta : y = 1/3·x + 4/3

Quindi il punto B tramite intersezione retta-parabola:

{y = 1/3·x + 4/3

{y = 1/2·x^2

Una soluzione già l'abbiamo:

x = 2 ∧ y = 2

Quindi l'altra è B: x = - 4/3 ∧ y = 8/9----->B(-4/3,8/9)

A questo punto determiniamo la circonferenza:x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{2^2 + 2^2 + a·2 + b·2 + c = 0   (passa per A)

{(- 4/3)^2 + (8/9)^2 + a·(- 4/3) + b·(8/9) + c = 0   (passa per B)

{(-2)^2 + (-6)^2 + a·(-2) + b·(-6) + c = 0  (passa per D)

sistemato un po' meglio:

{2·a + 2·b + c = -8

{4·a/3 - 8·b/9 - c = 208/81

{2·a + 6·b - c = 40

Risolto fornisce: a = - 32/9 ∧ b = 52/9 ∧ c = - 112/9

Equazione circonferenza: x^2 + y^2 - 32/9·x + 52/9·y - 112/9 = 0

 

La retta AB è la congiungente A(2, 2) con C(- 4, 0)
* r ≡ y = (x + 4)/3
------------------------------
La parabola Γp specificata ha la forma
* Γp ≡ y = a*x^2
e, per passare da A(2, 2), dev'essere
* 2 = a*2^2 ≡ a = 1/2
cioè
* Γp ≡ y = x^2/2
------------------------------
Il sistema dei punti comuni determina B
* r & Γp ≡ (y = (x + 4)/3) & (y = x^2/2) ≡ A(2, 2) oppure B(- 4/3, 8/9)
------------------------------
La circonferenza Γc passa per il punto D(- 2, – 6) oltre che per A(2, 2) e B(- 4/3, 8/9), quindi ha centro nell'unico punto K del piano che risulti equidistante da ABD ed ha raggio R pari alla comune distanza; si ha
* K(16/9, -26/9)
* r = 2*√485/9
quindi
* Γc ≡ (x - 16/9)^2 + (y + 26/9)^2 = 1940/81 ≡
≡ 9*x^2 + 9*y^2 - 32*x + 52*y - 112 = 0
------------------------------
RISPOSTE
* r ≡ y = (x + 4)/3
* Γp ≡ y = x^2/2
* Γc ≡ 9*x^2 + 9*y^2 - 32*x + 52*y - 112 = 0