[Risolto] circonferenza

Ciao!

Esercizio 1 

Cose teoriche che ci servono: se il diametro è $AB$ allora il punto medio del segmento è sicuramente il centro della circonferenza. Inoltre possiamo trovare il raggio calcolando la lunghezza del segmento e dividendo il risultato per $2$. Con raggio e centro possiamo calcolare tranquillamente l'equazione della circonferenza con la formula generale $(x-x_{centro})^2 + (y-y_{centro})^2 = raggio^2$. Per l'area usiamo la formula $A = \pi raggio^2 $.

Cominciamo!

$AB = \sqrt{ (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(-2-3)^2+(4-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} $

quindi $raggio = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Il centro è $C = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac12; 3)$

quindi: $(x-\frac12)^2 + (y-3)^2 = (\frac{\sqrt{29}}{2})^2$ e poi basta fare i conti:

$x^2+\frac14 -x + y^2+9-6y = \frac{29}{4} $

facciamo il minimo comune multiplo:

$4x^2 + 1-4x +4y^2 +36 -24y = 29 $

$4x^2 +4y^2 -4x-24y +8 =0$

Per l'area, invece: $\pi \cdot (\frac{\sqrt{29}}{2})^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 29$

Esercizio 2

Usiamo la formula di prima della circonferenza generica $(x-x_{centro})^2 + (y-y_{centro})^2 = raggio^2$:

$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2$

$x^2+y^2 = 25 $

Esercizio 3 

Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C (1; −3) e passante per il punto
A (2; −1) e rappresentala

Se conosciamo il centro e un punto sulla circonferenza, sappiamo che la distanza ta il centro e quel punto è sicuramente il valore del raggio! quindi:

$r =\sqrt{ (x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2} = \sqrt{(2-1)^2+(-1-(-3))^2} = \sqrt{1^2 +2^2} = \sqrt{5}$

Quindi usando sempre la nostra equazione generica: 

$(x-x_{centro})^2 + (y-y_{centro})^2 = raggio^2$

$(x-1)^2 + (y-(-3))^2 = \sqrt{5}^2$

$(x-1)^2+(y+3)^2 = 5 $

$x^2+1-2x +y ^2 +9 +6y = 5 $

$x^2 + y^2 -2x+6y +5 = 0 $

grazie mille