Considera la circonferenza di equazione $x^2+y^2+9 y-9=0$.
a. Scrivi l'equazione della tangente alla circonferenza nel suo punto di intersezione con l'asse $x$ di ascissa positiva.
b. Scrivi le equazioni delle tangenti alla circonferenza condotte dal punto $\left(\frac{3}{2} ; 3\right)$ e verifica che esse sono perpendicolari. Determina quindi le coordinate dei punti di tangenza e la misura della corda che li congiunge.
Mi spiegate i passaggi? Grazie
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Livello 2
Ciao. Ho modificato il post inviato in precedenza . Dacci un'occhiata.
Ripasso sul problema delle tangenti, la retta polare, gli sdoppiamenti
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
Esercizio
La conica Γ sia la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 9*y - 9 = 0 ≡ x^2 + (y + 9/2)^2 = 117/4
allora la polare del polo P(u, v) rispetto a Γ è
* p ≡ u*x + v*y + 9*(v + y)/2 - 9 = 0 ≡
≡ (u != 0) & (v = - 9/2) & (x = 117/(4*u)) oppure (v != - 9/2) & (y = (9*(2 - v) - 2*u*x)/(2*v + 9))
Risposte ai quesiti
a) (asse x) & Γ ≡ (y = 0) & (x^2 + y^2 + 9*y - 9 = 0) ≡
≡ A(- 3, 0) & P(3, 0) = (u, v)
con
* (u = 3 != 0) & (v = 0 != - 9/2)
si ha
* p ≡ y = - (2/3)*(x - 3)
b) P(3/2, 3) = (u, v)
con
* (u = 3/2 != 0) & (v = 3 != - 9/2)
si ha
* p ≡ y = - (x + 3)/5
da cui
b1) punti di tangenza: p & Γ ≡ (y = - (x + 3)/5) & (x^2 + (y + 9/2)^2 = 117/4) ≡
≡ A(- 3, 0) oppure B(9/2, - 3/2)
b2) misura della corda: |AB| = 3*√26/2 ~= 7.6
b3) rette tangenti
* AP ≡ y = 2 + 2*x/3
* BP ≡ y = 21/4 - 3*x/2
b4) verifica di ortogonalità: (2/3)*(- 3/2) = - 1
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Genius I
@exprof 👍👌👍
@exprof Salve Prof. mi scusi, un chiarimento, perchè i libri di testo dicono nella circonferenza di non usare la formula di sdoppiamento, preferendo il classico sistema che ci metti 2 ore a risolverlo perchè abbiamo un x^2, y^2, y nella prima equazione e poi abbiamo nella seconda un'altra incognita m. Quale è il procedimento più giusto e corretto da applicare? Grazie mille della disponibilità.
@ALBY
Beata te che hai "libri di testo" al plurale che incessabili voce proclamant «nella circonferenza non usate le formule di sdoppiamento!», così puoi farti due risate! Quelli che hai tu sono "libri adottabili", ma non sono più "libri di testo" almeno dagli anni '90 e spesso sparano cazzate e pubblicano esercizi alla come va va.
Sulla domanda "Quale è il procedimento più giusto e corretto da applicare?" ti faccio notare che "giusto e corretto" non sono graduabili, sono attributi booleani come glaucopide, incinta, morto, ... e altre proprietà di tipo sì o no: si può essere più o meno alti o grassi, ma non più o meno morti o corretti.
Ogni procedimento che produca in tempo finito (10 secondi o 20 ore) il risultato corretto è UN procedimento corretto.
La giustezza invece è un attributo di adattamento: il bottone è giusto per l'asola, la sentenza lo è per la norma, il tappo per la damigiana; il procedimento che è giusto per me può non esserlo per lo stupido (nel senso del Prof. Cipolla) che proclama «nella circonferenza non usate le formule di sdoppiamento!».
Dal mio punto di vista applicare la polarità indotta dalla conica per risolvere il problema delle tangenti è giusto a causa di due motivi:
1) è il più semplice da calcolare;
2) le eventuali tangenti parallele all'asse y escono spontaneamente senza richiedere il trattamento speciale necessario nel metodo del fascio.
@exprof E' tutto chiaro grazie Prof..la penso come lei!
{x^2 + y^2 + 9·y - 9 = 0
{y = 0
risolvo: [x = 3 ∧ y = 0, x = -3 ∧ y = 0]
[3,0]
Formule di sdoppiamento:
3·x + 0·y + 9·(y + 0)/2 - 9 = 0
3·x + 9·y/2 - 9 = 0----> y = 2 - 2·x/3 con m = -2/3
Determino la retta polare con formule di sdoppiamento per il punto [3/2, 3]
3/2·x + 3·y + 9·(y + 3)/2 - 9 = 0
risolvo: y = - x/5 - 3/5
messa a sistema con la circonferenza determino i punti di tangenza:
{x^2 + y^2 + 9·y - 9 = 0
{y = - x/5 - 3/5
Lo risolvo ed ottengo:
[x = -3 ∧ y = 0 , x = 9/2 ∧ y = - 3/2 ]
Considero i punti:
[-3, 0]
[9/2, - 3/2]
[3/2, 3]
Quindi ottengo due rette tangenti:
(y - 0)/(x + 3) = (3 - 0)/(3/2 + 3)
y/(x + 3) = 2/3----> y = 2·x/3 + 2 con m = 2/3
(y + 3/2)/(x - 9/2) = (3 + 3/2)/(3/2 - 9/2)
(2·y + 3)/(2·x - 9) = - 3/2---> y = 21/4 - 3·x/2 con m = -3/2
Quindi fra loro perpendicolari
Ultimo la distanza :
√((9/2 + 3)^2 + (- 3/2 - 0)^2) = 3·√26/2 = 7.65 circa
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
@lucianop Luciano scusami, una cortesia perchè i libri di testo dicono nella circonferenza di non usare la formula di sdoppiamento, preferendo il classico sistema che ci metti 2 ore a risolverlo perchè abbiamo un x^2, y^2, y nella prima equazione e poi abbiamo nella seconda un'altra incognita m. Quale è il procedimento più giusto e corretto da applicare? Grazie mille della disponibilità.
Sinceramente non so (anche perché quanto riferisci non l'ho letto da alcuna parte) perché i libri di testo dicano di non utilizzare tali formule per la circonferenza. Ritengo che i due metodi siano entrambi validi alla risoluzione del problema, anche se spesso con le formule si accelera la risoluzione a mio avviso.
@lucianop Matematica a colori di Sasso, lo dice, ma, per risolvere il sistema è una follia, in verifica di 2 ore butti via un sacco di tempo per ricontrollare....Domanda ma se viene usata la formula di sdoppiamento e viene giusto il risultato, il Prof. ti puo contestare il fatto che non l'hai svolto con il suo (amatissimo) procedimento? Ovvero lo può contestare...
