Trova per quali valori di k l’equazione rappresenta una circonferenza.
x^2+ y^2 + (k - 2)x + ky - 2 =0
[per ogni k appartenente a R ]
Trova per quali valori di k l’equazione rappresenta una circonferenza.
x^2+ y^2 + (k - 2)x + ky - 2 =0
[per ogni k appartenente a R ]
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Livello 1
L'equazione, con (k, x, y) ∈ R,
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (k - 2)*x + k*y - 2 = 0 ≡
≡ x^2 + (k - 2)*x + y^2 + k*y - 2 = 0 ≡
≡ (x + (k - 2)/2)^2 - ((k - 2)/2)^2 + (y + k/2)^2 - (k/2)^2 - 2 = 0 ≡
≡ (x + (k - 2)/2)^2 + (y + k/2)^2 = ((k - 1)^2 + 5)/2
rappresenta il fascio di circonferenze con
* raggi r(k) = √(((k - 1)^2 + 5)/2) >= r(k) = √(5/2) > 0 (tutte reali non degeneri: ∀ k ∈ R)
* centri C((2 - k)/2, - k/2)
* luogo dei centri la retta y = x - 1
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NOTA
Ogni fascio di coniche riducibile alla forma con termini quadratici monici e priva di termine rettangolare rappresenta una circonferenza per ogni valore reale del parametro: alcune circonferenze potranno essere degeneri sul proprio centro (r^2 = 0) ed altre potranno avere raggio immaginario (r^2 < 0), ma sempre di circonferenze si tratta!
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Genius I