E' lungo quindi lo svolgo a pezzi.
a) Considero AOD e EO'B che sono isosceli perché hanno due raggi fra i lati
AOD^ = a => OAD^ = ODA^ = (P^ - a)/2
OD // O'E perché sono entrambe perpendicolari alla tangente comune t
quindi EO'B^ = P^ - a
e O'EB^ = O'BE^ = (P^ - (P^ - a))/2 = a/2
b) Considero il triangolo ABC ed uso la notazione abbreviata
A^ + B^ + C^ = P^
utlizzando quanto già detto
(P^ -a)/2 + a/2 + C^ = P^
P^/2 + C^ = P^
ACB^ = P^ - P^/2 = P^2
c) Consideriamo adesso il quadrilatero CDTE
E poniamo ATD^ = y per brevità di notazione
Dal triangolo DOT
2y + P^ - a = P^
2y = a
y = a/2
allora ATD^ = O'BE^ e sono corrispondenti formati dalle rette DT e CE
che risultano pertanto parallele.
Analogamente ETB^ é angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro
EO'B^ per cui é la sua metà; misura quindi (P^ - a)/2 e allora é congruente a CAB^
Essi sono corrispondenti formati dalle rette AC e TE ( tagliate da DT ) che sono quindi
a loro volta parallele. Allora per definizione CDTE é un parallelogramma ed essendo
C retto risulta un rettangolo.
d) Considerati i due triangoli ODP e OTP con la costruzione indicata osserviamo che
- OP é comune
- DP ~ TP perché metà delle diagonali di un rettangolo che sono congruenti
- OD ~ OT perché raggi della stessa circonferenza
e rientrano quindi nel 3^ criterio di congruenza.
e) dobbiamo dimostrare che CT é perpendicolare ad AB
potremmo operare come segue
ATD^ = AOD^/2 = a/2 perché angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco AD
Allora ATC^ = ATD^ + DTC^ = a/2 + g
Ora DTC^ = TCE^ perché alterni interni formati dalle parallele DT e BE tagliate dalla
trasversale CT => TCE^ = g
CPE é isoscele su base CE perché il suoi lati sono congruenti in quanto semidiagonali di un
rettangolo, allora CEP^ = g.
Detto b il complementare di g, TEC^ = b + g é retto ma anche
O'ED^ = b + g' é retto perché formato da raggio e tangente nello stesso punto
da qui per confronto b + g = P^/2 = b + g' => g' = g
Arriviamo quindi alla parte conclusiva : nel triangolo isoscele O'ET
a + 2 g' = P^ => 2 g = P^ - a => g = P^/2 - a^/2
ed infine ... ATC^ = a/2 + g = a/2 + P^/2 - a/2 = P^/2
e ciò prova che CT é perpendicolare ad AB ( che contiene i diametri )
e quindi C appartiene alla tangente comune.
