[Risolto] Circonferenza

1)

Il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto di tangenza. Conoscendo le coordinate del centro, scrivo la retta passante per C e perpendicolare alla bisettrice. 

L'intersezione tra la retta trovata e la bisettrice mi fornisce il punto di tangenza. 

La distanza centro della circonferenza - punto di tangenza mi fornisce il raggio. 

Oppure l'appartenenza del punto di tangenza al fascio di circonferenze mi permette di determinare il valore del parametro k

C=(-3/2;5/2)

Retta contenente il raggio vettore nel punto di tangenza 

y-5/2 = - (x+3/2)

Le coordinate del punto T di tangenza si determinano mettendo a sistema la bisettrice e la retta appena trovata. 

T=(1/2;1/2)

Imponendo la condizione di appartenenza del punto T al fascio di circonferenze determino il valore del parametro k

K=1/2

Oppure altro modo di procedere.... noti che per la circonferenza tangente la bisettrice risulta uguale al raggio la distanza di C dalla bisettrice 

1) Le circonferenze del fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 3*x - 5*y - k + 1 = 0 ≡
≡ x^2 + 3*x + y^2 - 5*y - k + 1 = 0 ≡
≡ (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 + (y - 5/2)^2 - (5/2)^2 - k + 1 = 0 ≡
≡ (x + 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = q = (√(k + 15/2))^2
sono concentriche su C(- 3/2, 5/2) e sono parametriche nel raggio r = √(k + 15/2) (≡ k = (2*q - 15)/2).
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1a) Tangente la bisettrice dei quadranti dispari y = x.
* (y = x) & ((x + 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = q)
ha risolvente
* (x + 3/2)^2 + (x - 5/2)^2 - q = 0
che, per la tangenza, deve avere nullo il discriminante
* Δ(q) = 8*(q - 8) = 0 ≡ q = 8
da cui
* k = (2*8 - 15)/2 = 1/2
* Γ(1/2) ≡ (x + 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 8
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1b) Inscritta nel quadrato di lato 5
Cioè con: r = 5/2, q = 25/4, k = (2*25/4 - 15)/2 = - 5/4
* Γ(- 5/4) ≡ (x + 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 25/4
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2) "Quindi devo trovare il raggio: ma non so come trovarlo."
Il raggio è proprio il parametro del fascio variando il quale si ottempera alla condizione che la retta data sia secante e stacchi una corda di lunghezza data.
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Le circonferenze del fascio
* Γ(q) ≡ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = q
sono concentriche su C(3, - 1) e sono parametriche nel raggio r = √q.
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La retta
* 2*x - 5*y + 18 = 0 ≡ y = (2/5)*(x + 9)
Risolvendo il sistema si ricavano i punti comuni
* (y = (2/5)*(x + 9)) & ((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = q) ≡
≡ P((29 - (5*√29)*√(q - 29))/29, 2*(58 - (√29)*√(q - 29))/29)
oppure
≡ Q((29 + (5*√29)*√(q - 29))/29, 2*(58 + (√29)*√(q - 29))/29)
che sono reali e distinti per q > 29; e la cui distanza dev'essere ei
* |PQ| = d(q) = 2*√(q - 29) = 6 ≡ q = 38
da cui
* Γ(q) ≡ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 38