[Risolto] Circonferenza

Ciao!

Ricordiamoci che l'equazione generica della circonferenza con centro in $(\alpha, \beta)$ e raggio $r$ è

$(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$

La $C$ e la $E$ le escludiamo, perché non hanno centro in $x = -2$ e $y = 3$, altrimenti avrebbero equazione $(x+2)^2+ (y-3)^2 = r^2$.

La $D$ la escludiamo perché ha raggio al quadrato negativo! Infatti, portando a destra il termine noto, la $D$ sarebbe $(x+2)^2+(y-3)^2 = -9$ quindi $r^2 = -9$ che è impossibile.

Rimangono quindi la $A$ e la $B$.

Per vedere quale delle due è tangente alla retta $x -1  = 0$ potremmo verificare che sia soddisfatta la condizione di tangenza (metto a sistema, impongo $\Delta = 0$) oppure possiamo pensarci un po' su e osservare che

Se la circonferenza e la retta sono tangenti, la distanza tra la retta e il centro della circonferenza coincide con il raggio della circonferenza stessa.

Proviamo a calcolare la distanza tra il centro (che conosciamo) $C(-2,3)$ e la retta $x-1 = 0$ usando la distanza punto-retta:

$d = \frac{ |0 \cdot 3+ 1( -2)-1|}{sqrt{0^2+1^2}} = \frac{|-3|}{1} = |-3| = 3 $

quindi il raggio della circonferenza è $3$ e dunque il raggio al quadrato è $9$, quindi la risposta corretta è la $B$

Ciao,

Essendo la retta tangente, allora il raggio della circonferenza coincide con la distanza di C dalla retta.

Calcoliamo la distanza di C dalla retta:

$r =\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^+b^2}}=$

$ \frac{ | 1( -2)-1|}{sqrt{1^2}} = \frac{|-2-1|}{1} = |-3| = 3 $

 

Quindi l'equazione della circonferenza è:

$(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 3^2$

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 9$

$(x+2)^2 + (y-3)^2-9 = 0$

 

La risposta corretta è la B.

 

saluti ? 

 

 

L'equazione cartesiana della circonferenza con C(-2,3) e raggio r > 0 qualsiasi si scrive:

(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 quindi candidate sono solo le risposte A, B e D.

La retta tangente x=1 è verticale. Il centro C dista da tale retta: d=r=|Xc-1|=|-2-1|=3

Quindi r^2=9 quindi la risposta corretta è B