Cinematica e dinamica rotazionale

Un disco di massa m1= 5,0 kg e raggio R1 = 0,28 m sta ruotando senza attrito attorno a un asse ed effettua 10 giri/s. Su questo disco viene impilato un altro disco di massa m2 = 4,0 kg e raggio R2 = 0,18 m che per attrito inizia a ruotare sull'altro disco fino a quando i due dischi non hanno la medesima velocità angolare.

Calcola:

1)La velocità finale di rotazione. [47 rad/s]

Si applica la conservazione del momento angolare L = J'*ω'

prima

MoI  J' = m1/2*R1^2 = 2,5*0,28^2 = 0,196 kg*m^2

velocità angolare ω' = 2*π*n1 = 6,2832*10 = 62,832 rad/sec 

momento angolare L = J'*ω' = 0,196*62,832 = 12,315 kg*m^2/sec 

dopo 

MoI J = 0,196+4/2*0,18^2 = 0,2608 kg*m^2

velocità angolare ω = L/J = 12,315/0,2608 = 47,22 rad/sec 

 

2)L'energia dissipata per attrito. [96 J]

(J'*ω'^2-J*ω^2)/2 = (0,196*62,832^2-0,2608*47,22^2)/2 = 96,13 J 

I1 = 1/2 m1 * r1^2 = momento d'inerzia del primo disco;

I1 = 1/2 * 5,0 * 0,28^2 = 0,196 kg m^2;

f1 = 10 Hz 

ω1 = 2 * 3,14 * 10 = 62,8 rad/s;

Momento angolare iniziale = I1 * ω1;

Momento d'inerzia del 2° disco:

I2 = 1/2 * m2 * r2^2 ;

I2 = 1/2 * 4,0 * 0,18^2 = 0,0648 kg m^2;

I totale:

I1 + I2 = 0,196 + 0,0648 = 0,261 kg m^2;

I * ω = costante;   si conserva il momento angolare;

Aumenta il momento d'inerzia quando i due dischi ruotano insieme, diminuisce ω;

(I1 + I2) * ω = I1 * ω1;

ω = 0,196 * 62,8 / 0,261 = 47 rad/s; velocità angolare finale.

Energia iniziale:

Eo = 1/2 I1 ω1^2 = 1/2 * 0,196 * 62,8^2 = 386,5 J;

Energia finale:

E = 1/2 (I1 + I2) * ω^2 = 1/2 * 0,261 * 47^2 = 288,3 J;

Energia dissipata:

Delta E = E - Eo = 288,3 - 386,5 = - 98 J;  (circa).

Ciao  @marvin