Una fune di massa trascurabile è avvolta attorno a una carrucola di massa 1,6 kg e raggio 14 cm. Le due estremità della fune reggono due sacchi: il primo, di massa 8,4 kg, si trova a 1,6 m da terra, il secondo, di massa 3,6 kg, si trova a 20 cm da terra. Quando i sacchi sono lasciati liberi di muoversi, la fune ruota senza slittare insieme alla carrucola.
Calcola la velocità dei sacchi quando sono alla stessa altezza. [2,3 m/s]
19
punti
Livello 0
Momento positivo generato dalla tensione TA (rotazione antioraria del raggio vettore a sovrapporsi al vettore TA). Momento negativo generato da TB.
Rotazione antioraria della carrucola (accelerazione angolare positiva a/R)
77016
punti
Genius II
Una fune di massa trascurabile è avvolta attorno a una carrucola di massa mp = 1,6 kg e raggio R = 14 cm. Le due estremità della fune reggono due sacchi: quello di massa m1 = 8,4 kg, si trova a 1,6 m da terra, l'altro di massa m2 = 3,6 kg, si trova a 20 cm da terra. Quando i sacchi sono lasciati liberi di muoversi, la fune ruota senza slittare insieme alla carrucola. Calcola la velocità dei sacchi quando sono alla stessa altezza. (2,3 m/s)
a) moto traslatorio
grazie alla conservazione dell'energia (m*V^2 = J*ω^2), la puleggia di massa mp, al solo scopo inerziale, può essere vista come una massa equivalente mpe = mp/2 da sommarsi alle masse traslanti m1 ed m2 ; ne consegue :
accelerazione a = g(m1-m2)/(m1+m2+mpe)
a = 9,806*(8,4-3,6)/(8,4+3,6+1,6/2) = 3,67725 m/sec^2
h = Δh/2 = (1,6-0,2)/2 = 0,70 m
h = 0,70 = a/2*t^2
tempo t = √2h/a = √1,4/3,67725 = 0,6170 sec
velocità V = a*t = 0,6170*3,67725 = 2,269 m/sec ( 2,3 con due sole cifre significative)
...oppure, calcolata a, si può calcolare V con la formula V = √2ah (derivata dall'equivalenza tra energia cinetica e lavoro), ottenendo :
V = √1,4*3,67725 = 2,269 m/sec ( 2,3 con due sole cifre significative)
b) moto rotatorio
Del tutto analogamente, le masse traslanti, al solo scopo inerziale, possono essere viste come una massa equivalente me = 2(m1+m2) da sommarsi alla massa mp delle puleggia ; si ottiene :
massa totale M = mp+me = 1,6+2*(8,4+3,6) = 25,6 kg
momento d'inerzia MoI = J = M/2*R^2 = 12,8*0,14^2 = 0,25088 kg*m^2
coppia accelerante C = g*(m1-m2)*R = 9,806*(8,4-3,6)*0,14 = 6,5896 N*m
accelerazione angolare α = C/J = 6,5896/0,25088 = 26,266 rad/sec^2
accelerazione tangenziale a = α*R = 26,266*0,14 = 3,67725 m/sec^2 perfettamente uguale a quella calcolata prima
bonus :
T2 = m1(g-a) = 8,4*(9,806-3,67725) = 51,48 N
T1 = m2(g+a) = 3,6*(9,806+3,67725) = 48,54 N < T2
La differenza T2-T1 = 2,94 N è quanto serve ad accelerare la puleggia
142415
punti
Genius III
@remanzini_rinaldo Grazie infinite
