[Risolto] Cinematica

Devi distinguere due casi: la prima situazione, per calcolarti la velocità del treno, poi il secondo per ricavarti la velocità v0 iniziale che deve possedere il sasso per cadere proprio sul treno.

Attenzione, non fare confusione tra riferimento dello spazio (positivo verso l'alto) e i riferimenti delle velocità (le velocità e le accelerazione sono negative infatti perché abbiamo preso l'ascissa x positiva verso l'alto, se poi risostituisci v0 trovata nell'equazione 0=h-v0*t-0.5*g*t^2 vedi infatti che il contributo della velocità "negativa" di v0 in realtà si riflette in una quantita dell'ascissa positiva che si aggiunge ad h, quindi sta salendo, coerentemente con quanto ci siamo trovati).

tempo di t di caduta al suolo in modalità "dropping" :

t = √2h/g = √2*16/9,806 = 1,806 sec  

velocità del treno V tr = 23,5/t = 23,5/1,806 = 13,0 m/sec  

manca l'altezza dal binario del fumaiolo che può ragionevolmente essere stimata in h' = 3,00 m ; il tempo di caduta deve necessariamente essere pari a t' = 25/13 = 1,923 sec  per consentire al treno, viaggiante a 13,0 m/sec, di trovarsi sotto la verticale del cavalcavia ; pertanto : 

(-16+h') = Vo*1,923-4,903*1,923^2

-16+3+18,1 = Vo*1,923

Vo = 5,1/1,923 = 2,65 m/sec up

se h' = 0 si ha :

-16+0+18,1 = Vo*1,923

2,1 = Vo*1,923

Vo = 1,09 m/sec up  

MA L'OBIETTIVO E' IL TRENO O IL FUMAIOLO?
"far entrare un sasso nel fumaiolo" o "quando il terno si trova a 25 m"?
"1,5 m davanti al treno" o "per centrare il fumaiolo"?
Prima dei due quesiti servono altre due specificazioni:
* "Si cosideri il fumaiolo posto in fronte al treno.";
* "Si assimili il sasso a un punto materiale.".
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La velocità costante del treno è il rapporto fra lo spazio percorso (25 - 1.5 = 23.5 = 47/2 m) e il tempo di percorrenza, che è quello della caduta libera di un punto materiale da 16 m di dislivello sotto l'azione della gravità locale.
Nel moto di caduta libera si ha
* y(t) = h - (g/2)*t^2
da cui il tempo di caduta T > 0
* (0 = h - (g/2)*T^2) & (T > 0) ≡ T = √(2*h/g)
e quindi la richiesta velocità costante del treno
* vT = (47/2)/√(2*16/g) = (47/8)*√(g/2) m/s
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Il tempo T' nel quale, con tale velocità, si percorrono 25 m è
* T' = 25/vT = (200/47)*√(2/g)
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Il moto dello stesso punto materiale lanciato in alto con velocità V è
* y(t) = h + t*(V - (g/2)*t)
quindi
* y(T') = h + T'*(V - (g/2)*T') = 0 ≡
≡ 16 + (V - (g/2)*(200/47)*√(2/g))*(200/47)*√(2/g) = 0 ≡
≡ 16 + (V - (100/47)*√(2*g))*(200/47)*√(2/g) = 0 ≡
≡ V = (291/1175)*√(2*g) m/s
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RISPOSTE AI QUESITI
Il valore di entrambe le velocità richieste
* vT = (47/8)*√(g/2) m/s
* V = (291/1175)*√(2*g) m/s
dipende dall'accelerazione di gravità nel sito del cavalcavia.
Usando lo standard SI si hanno le approssimazioni
* vT ~= 13.0093 m/s
* V ~= 1.09681 m/s
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Per altre approssimazioni basta modificare il comando
http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B%28%2847%2F8%29*%E2%88%9A%28g%2F2%29%2C%28291%2F1175%29*%E2%88%9A%282*g%29%29%2C6%5Dwhere+g%3D9.80665

Tempo di caduta da 16 m:

h = 1/2 g t^2;

t = radicequadrata(2 h / g) = radicequadrata(2 * 16/9,8) = 1,81 s;

Cade a 1,5 m davanti al treno; Spazio percorso dal treno S =25 - 1,5  = 23,5 m

Velocità treno:

v = S / t = 23,5 /1,81 = 13 m/s;

Per cadere nel fumaiolo deve impiegare un tempo di caduta t maggiore, in modo che il treno percorra 25 m:

t = S / v = 25 / 13 = 1,92 s; (tempo di volo);

Deve lanciare il sasso verso l'alto con velocità iniziale vo.

1/2 g t^2 + vo t + ho = 0;

vo t = - 1/2 g t^2 - ho;

vo * 1,92= - 1/2 * (- 9,8) * 1,92^2 - 16;

vo = (18,06 - 16) / 1,92 = 2,06 / 1,92 = 1,07 m/s (verso l'alto).