Cicli termodinamici e secondo principio della termodinamica

Question

Un gas perfetto biatomico (γ = 7/5) esegue un ciclo Diesel ideale; dallo stato iniziale A, con pA = 1,0 × 105 Pa, VA = 5,0 × 10−4 m3, TA = 293 K, viene compresso adiabaticamente allo stato B. Poi segue un’espansione isòbara %no allo stato C e una adiabatica fino allo stato D, con pD = 5,0 × 105 Pa. Il ciclo si chiude con un’isocòra. Il rapporto di compressione, ovvero il rapporto tra il volume massimo e quello minimo raggiunti nel ciclo, è 22.

▶ Calcola i valori della pressione, volume e temperatura ai vertici del ciclo.
▶ Disegna il ciclo nel piano (V, p).

pB = 76 × 105 Pa, TB = 1,01 × 103 K; VB = 2,3 × 10−5 m3
;
pC = 76 × 105 Pa, TC = 3,29 × 103 K; VC = 7,2 × 10−5 m3
;
pD = 5,0 × 105 Pa, TD = 1,47 × 103 K; VD = 5,0 × 10−4 m3

Autore

Risposta

Sophie.

(@sophie-2)

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08/02/2023 22:56

n_f · Accepted Answer

Costruiamo prima di tutto una tabella in cui riassumo le informazioni presenti nel testo:

$ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Stato & p(\times10^5 Pa) & V(\times10^{-5}m^3)& T(K) \\\hline
A & 1 & 50 & 293 \\\hline
B & x\\\hline
C & x \\\hline
D & 5 & 50\\\hline
\end{array}$

dove ho indicato con una "x" la pressione uguale negli stati B e C, di cui però non conosciamo il valore.

Dato che può tornare utile, troviamo il numero di moli del gas usando le informazioni sullo stato A:

$ n= \frac{p_A V_A}{RT_A} = 0.021 mol$

Possiamo calcolare la temperatura anche nello stato D mediante la legge dei gas:

$ T_D = \frac{p_D V_D}{nR} = 1432 K$

Notiamo ora che nei punti A e D il volume è lo stesso.

In B abbiamo una compressione, per cui il volume diminuisce: $V_B < V_A$.

Segue poi un'espansione isobara per cui $V_C > V_B$ e poi abbiamo di nuovo un'espansione adiabatica per tornare in D. Abbozzando un disegno del ciclo:

Quindi possiamo intuire che il volume minimo è quello raggiunto in B mentre quello massimo è in A=D.

Quindi:

$\frac{V_D}{V_B} = 22$

da cui

$ V_B = \frac{V_D}{22} = 2.3 \times 10^{-5} m^3$

Conoscendo il volume in B, possiamo usare l'equazione dell'adiabatica per trovare la pressione in B (e dunque in C):

$ p_B = \frac{p_A V_A^{\gamma}}{V_B^{\gamma}}= 76 \times 10^5 Pa$

Aggiorniamo la tabella con i valori fin qui trovati:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Stato & p(\times10^5 Pa) & V(\times10^{-5}m^3)& T(K) \\\hline
A & 1 & 50 & 293 \\\hline
B & 76 & 2.3\\\hline
C & 76 \\\hline
D & 5 & 50 & 1432\\\hline
\end{array}$

Possiamo quindi trovare la temperartura in B:

$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = 1001 K$

Tra C e D abbiamo un'altra adiabatica, quindi di nuovo:

$ V_C = (\frac{p_D V_D^\gamma}{p_C})^{1/\gamma} = 7.2 \times 10^{-5} m^3$

e infine:

$ T_C = \frac{p_C V_C}{nR} = 3135 K$

Ed ecco:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Stato & p(\times10^5 Pa) & V(\times10^{-5}m^3)& T(K) \\\hline
A & 1 & 50 & 293 \\\hline
B & 76 & 2.3 & 1001\\\hline
C & 76 & 7.2 & 3135\\\hline
D & 5 & 50 & 1432\\\hline
\end{array}$

Noemi

n_f

(@n_f)

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13/10/2023 10:51

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