Chiedo aiuto per risolvere questo esercizio

L'esercizio proposto presenta due problemi.
Il primo che chiede l'equazione di una parabola Γ richiede calcoli banali, a patto di rammentare la forma particolare delle parabole come quella descritta e di saperla applicare ai dati forniti nel testo.
Il secondo che chiede di scegliere in un fascio di parallele quella che stacca su Γ una corda di lunghezza assegnata è invece un po' più impegnativo in quanto richiede di saper risolvere un'equazione di secondo grado in termini simbolici e non numerici, e di saper calcolare una distanza ancora in termini simbolici.
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Ogni parabola Γ con:
* asse di simmetria parallelo all'asse x;
* apertura a != 0;
* vertice V(w, h);
ha equazione della forma
* Γ ≡ x = a*(y - h)^2 + w
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Nel caso in esame è dato
* vertice V(- 3/2, 2)
da cui
* Γ ≡ x = a*(y - 2)^2 - 3/2
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Per trovare l'apertura si usa la condizione che il punto P(- 1/2, 1) appartiene a Γ se e solo se le sue coordinate soddisfanno all'equazione di Γ, cioè
* - 1/2 = a*(1 - 2)^2 - 3/2
e da questa condizione si ricavano
* a = 1
* Γ ≡ x = (y - 2)^2 - 3/2 ≡ x = y^2 - 4*y + 5/2
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Il fascio di pendenza uno, delle parallele alla bisettrice dei quadranti dispari, è
* r(q) ≡ y = x + q
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Il sistema dei punti comuni ad r(q) e Γ è
* r(q) & Γ ≡ (y = x + q) & (x = y^2 - 4*y + 5/2)
con risolvente
* (x + q)^2 - 4*(x + q) + 5/2 - x = 0 ≡
≡ x^2 + (2*q - 5)*x + (q - 2)^2 - 3/2 = 0
che ha discriminante
* Δ(q) = 15 - 4*q
e radici
* x1 = (5 - 2*q - √(15 - 4*q))/2
* x2 = (5 - 2*q + √(15 - 4*q))/2
da cui le ordinate
* y1 = x1 + q = (5 - √(15 - 4*q))/2
* y2 = x2 + q = (5 + √(15 - 4*q))/2
e i punti comuni
* S1((5 - 2*q - √(15 - 4*q))/2, (5 - √(15 - 4*q))/2)
* S2((5 - 2*q + √(15 - 4*q))/2, (5 + √(15 - 4*q))/2)
estremi di una corda lunga quanto la loro distanza
* |S1S2| = d(q) = √(30 - 8*q)
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Per trovare la retta richiesta si deve risolvere l'equazione
* |S1S2| = d(q) = √(30 - 8*q) = 3*√2 ≡ q = 3/2
e si trova
* r(3/2) ≡ y = x + 3/2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3Dx%2B3%2F2%2Cx%3D%28y-2%29%5E2-3%2F2%5D