[Risolto] Problema di geometria analitica

Metti a sistema:

{y = - x^2 + 3·x + 2

{y = k

Per sostituzione arrivi a scrivere una equazione parametrica di 2° grado in k: la risolvi:

k - (- x^2 + 3·x + 2) = 0

x^2 - 3·x + k - 2 = 0

ottieni le ascisse di intersezione della retta con la parabola:

x = (3 - √(17 - 4·k))/2 ∨ x = (√(17 - 4·k) + 3)/2

fai la differenza che costituirà la base del rettangolo cercato, quindi la poni pari a:

(√(17 - 4·k) + 3)/2 - (3 - √(17 - 4·k))/2 = 1/4·k

Risolvi ed ottieni:

k = 4

x = (3 - √(17 - 4·4))/2 ∨ x = (√(17 - 4·4) + 3)/2

x = 2 ∨ x = 1

Quindi le coordinate del rettangolo:

[1, 0]

[2, 0]

[2, 4]

[0, 4]

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/1260-problema-sulla-parabola-con-inscritto-un-rettangolo.html

Nell'esercizio svolto l'altezza è il doppio e non il quadruplo della base ma la sostanza la stessa! 

La parabola
* y = - x^2 + 3*x + 2 ≡
≡ y = 17/4 - (x - 3/2)^2 ≡
≡ y = - (x - (3 - √17)/2)*(x - (3 + √17)/2)
ha
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a = - 1 < 0, quindi concavità verso y < 0
* vertice V(3/2, 17/4)
* zeri (3 ± √17)/2
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Con
* 0 <= d <= √17/2
i rettangoli inscritti hanno base b = 2*d, i lati alle ascisse
* x = 3/2 ± d
e l'altezza pari all'ordinata
* h = 17/4 - (3/2 - d - 3/2)^2 = 17/4 - d^2
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Imponendo a k > 0 il valore del rapporto
* h/b = (17/4 - d^2)/(2*d) = (17 - 4*d^2)/(8*d) = k
si ha
* ((17 - 4*d^2)/(8*d) = k) & (k > 0) ≡
≡ d(k) = (√(4*k^2 + 17) - 2*k)/2
da cui
* d(4) = (√(4*4^2 + 17) - 2*4)/2 = 1/2
quindi i lati sono sulle rette
* x = 3/2 ± 1/2 ≡ (x = 1) oppure (x = 2)