[Risolto] Centro di Massa di un sistema e velocità del centro di Massa.

Un ragazzo di 52,0 kg viaggia su uno skateboard di 4,5 kg su un tratto orizzontale alla velocità di 3,2 m/s. A un certo punto il ragazzo salta giù dallo skateboard con una velocità di 0,65 m/s nel verso opposto a quello del moto dello skateboard. Determina:

1. la velocità del centro di massa del sistema ragazzo + skateboard dopo che il ragazzo è sceso;
2. la velocità dello skateboard dopo che il ragazzo è sceso, ipotizzando che non ci sia attrito;
3. la velocità del centro di massa quando il ragazzo si ferma.

------------------------------------------------------------------------------------

1. la velocità del centro di massa del sistema ragazzo + skateboard dopo che il ragazzo è sceso rimane inalterata e risulta essere sempre v =3.2 m/s
2. la velocità dello skateboard dopo che il ragazzo è sceso, ipotizzando che non ci sia attrito è tale per cui valga il principio di conservazione della quantità di moto

Dati

M=52 kg; m=4.5 kg; v=3.2 m/s

Quindi:

(Μ + m)·v = - Μ·η + m·μ-------------   > μ = (m·v + v·Μ + Μ·η)/m

             Avendo definito con η e μ i moduli delle due velocità del ragazzo e dello skateboard

             Inserendo i dati si ottiene.

μ = (4.5·3.2 + 3.2·52 + 52·0.65)/4.5------   > μ = 47.689 m/s

3. la velocità del centro di massa quando il ragazzo si ferma.

Se il ragazzo si ferma η = 0 m/s e quindi la velocità del centro di massa deve variare secondo la relazione:

(52 + 4.5)·v = - 52·0 + 4.5·47.689-----  > v = 3.798 m/s

Siano le grandezze

$m_r= 52kg$: massa ragazzo.

$m_s =4.5 kg$: massa skateboard.

$v_i= 3.2$ $m/s$ : velocità iniziale del sistema che coincide con la velocità del centro di massa del sistema.

$v_{rf} = 0.65$ $m/s$: velocità finale del ragazzo

$v_{sf}$: velocità finale skateboard

Quantità di moto iniziale

$q_i = (m_{s} + m_r)\cdot v_i$

Il ragazzo si muove solo orizzontalmente (il moto avviene solo lungo l'asse delle ascisse) quindi evito di mettere i pedici $x$. Ipotizzando il moto del sistema iniziale sia rivolto verso direzione positiva dell'asse x, i moduli delle quantità di moto valgono

$q_{rf} = m_r \cdot v_{rf}$

$q_{sf} = m_s \cdot v_{sf}$

a) La velocità del centro di massa non cambia nel momento in cui il ragazzo salta, quindi $v_{cm} = 3.2$ $m/s$.

b) La velocità la ricaviamo dalla conservazione della quantità di moto (tenendo conto che la quantità di moto del ragazzo ha segno negativo in quanto si muove in verso opposto a quello del carrello) $(m_{s} + m_r)\cdot v_{cm} = - v_{rf}\cdot m_r + v_{sf} \cdot m_s$

$v_{sf} =( (m_{s} + m_r)\cdot v_{cm} + v_{rf}\cdot m_r )/m_s$

c) Quando si ferma il ragazzo: $ (m_{s} + m_r)\cdot v_{cm} = -0\cdot m_r + v_{sf} \cdot m_s$

$v_{cm} = (v_{sf} \cdot m_s)/(m_{s} + m_r)$