[Risolto] centro di massa

Intanto un disegno:

Valgono le relazioni:

{m·a = Τ - m·g·√2/2

{3·m·a = 3·m·g·√2/2 - Τ

Risolvo il sistema ed ottengo:[a = √2·g/4 ∧ Τ = 3·√2·g·m/4]

Quindi la massa 3m scende lungo il piano con un'accelerazione pari a  a = √2·g/4 percorrendo uno spazio y (figura) in: 

y = 1/2·a·t^2----> y = 1/2·(√2·g/4)·t^2---> y = √2·g·t^2/8

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Posizione del centro di massa al tempo t

Siano [η, μ] le posizioni del centro di massa.

η = (3·m·0 + m·x)/(3·m + m)----> η = x/4

μ = (3·m·(L - x) + m·0)/(3·m + m)-----> μ = 3·(L - x)/4

Quindi, tenendo conto che risulta: y = √2·g·t^2/8; y = L - x, l'ordinata del centro di massa nel tempo è pari a:

μ = 3/4·(√2·g·t^2/8)----> μ = 3·√2·g·t^2/32

mentre la sua ascissa risulta pari a:

η = (L - √2·g·t^2/8)/4----> η = L/4 - √2·g·t^2/32

Quindi la posizione del centro di massa è:

 [L/4 - √2·g·t^2/32; 3·√2·g·t^2/32]

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Per la traiettoria:

√2·g·t^2/32 = L/4 - η

3·√2·g·t^2/32 = 3·(L - 4·η)/4

Quindi:

μ = 3·L/4 - 3·η