Determinare, al variare del parametro reale $\alpha>-1$, il carattere della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}|\log (1+\alpha)|^{n} .
$$
Mi potreste aiutare a capire come risolverla dopo aver applicato il criterio della radice.
Determinare, al variare del parametro reale $\alpha>-1$, il carattere della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty}|\log (1+\alpha)|^{n} .
$$
Mi potreste aiutare a capire come risolverla dopo aver applicato il criterio della radice.
43
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Livello 0
Con a fissato é una serie geometrica;
deve quindi essere
- 1 < ln ( 1 + a ) < 1 perché sia convergente
1/e < 1 + a < e
1/e - 1 < a < e - 1
In tal caso la somma é
S = q + q^2 + ... = q/(1 - q)
S = |ln(1+a)|/(1 - |ln(1+a)|)
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Livello 7
@eidosm La serie dovrebbe diverge non ho capito come
Non diverge per ogni a.
Infatti, se ad esempio a = 1 hai il termine generale | ln(1+1) |^n = (ln 2)^n che é circa 0.693^n. Una serie geometrica con questo termine generale é convergente.
@eidosm si però non soddisfa la condizione necessaria che il termine generale sia infinitesimo
Invece sì, lim_n->oo q^n = 0 se |q| < 1.