Come è possibile dimostrare che nel monoide ( , +, 0 ) ogni elemento e' cancellabile?
Come è possibile dimostrare che nel monoide ( , +, 0 ) ogni elemento e' cancellabile?
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Livello 2
Ciao!
Un monoide è un semigruppo particolare la cui operazione sia anche dotata di elemento neutro. N(+) NON è un monoide perché non ha elemento neutro, ma $(N;0)$ sì: infatti lo 0 è l'elemento neutro per l'addizione perché, per qualsiasi a, è sempre vero che a + 0 = 0 + a = a. Se l'operazione è anche commutativa, si dice che il monoide è un monoide abeliano. Com'è logico, essendo + commutativa, $(N;0;+)$ è un monoide abeliano.
Quindi possiamo dire che, [ℕ, +, 0] è un monoide commutativo perché [ℕ, +] è un semigruppo commutativo ed inoltre lo zero è elemento neutro dell' addizione naturale. Ne consegue che invece [ℕ+, +] è un semigruppo commutativo ma non un monoide perché 0∉ℕ+.
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Livello 3
@imma grazie mille per la tua riposta. Tuttavia io volevo sapere come si dimostra che ogni elemento dell' insieme N e' cancellabile. In poche parole :
Voglio sapere come si dimostra questa implicazione
È possibile dimostrarlo tramite un caso numerico, prendendo in considerazione ad esempio l’elemento neutro a=0 allora 0+b=0+c quindi b=c
Si ma tu l'hai verificato per il caso a = 0. Quindi l'implicazione e' vera. Ma risulta ancora vera per tutti i numeri naturali? Cioè quando a varia in tutto N e' ancora vera l'implicazione?
Non so se può esserti utile questa spiegazione:
la funzione 'successore' è iniettiva + principio di induzione.
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Livello 0
@sara02 grazie mille
, +, 0 ) ogni elemento e' cancellabile?