Considera la regione finita di piano limitata dai grafici delle funzioni $y=x^2+1$ e $y=\sqrt{3 x+1}$. Determina il vo. lume del solido generato da una rotazione completa di tale regione di piano:
a. intorno all'asse $x$;
b. Intorno all'asse $y$.
$\left[\right.$ a. $\frac{19 \pi}{30}$; b. $\left.\frac{59 \pi}{270}\right]$
Spiegare e argomentare
11881
punti
Livello 2
{y = x^2 + 1
{y = √(3·x + 1)
risolvo: [x = 0 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = 2]
[0, 1] ed [1, 2]
Rotazione intorno asse x
Differenza fra gli integrali di:
pi·√(3·x + 1)^2 = pi·(3·x + 1)
ed
pi·(x^2 + 1)^2 = pi·(x^4 + 2·x^2 + 1)
fra x = 0 ed x = 1
∫ pi·(3·x + 1) dx = 3·pi·x^2/2 + pi·x
3·pi·1^2/2 + pi·1 = 5·pi/2
∫(pi·(x^4 + 2·x^2 + 1)) dx= pi·x^5/5 + 2·pi·x^3/3 + pi·x
pi·1^5/5 + 2·pi·1^3/3 + pi·1 = 28·pi/15
Vx=5·pi/2 - 28·pi/15 = 19·pi/30
Rotazione attorno asse y
(Metodo gusci cilindrici)
∫(2·pi·x·(√(3·x + 1) - x^2 - 1)) dx =
=pi·(8·(3·x + 1)^(3/2)·(9·x - 2) - 135·x^4 - 270·x^2)/270
valutato da x=0 ad x=1
pi·(8·(3·1 + 1)^(3/2)·(9·1 - 2) - 135·1^4 - 270·1^2)/270 = 43·pi/270
pi·(8·(3·0 + 1)^(3/2)·(9·0 - 2) - 135·0^4 - 270·0^2)/270 = - 8·pi/135
Vy = 43·pi/270 - (- 8·pi/135) = 59·pi/270
115477
punti
Genius III
